Cấu trúc đại số là một loại tập không rỗng G được trang bị một hoặc nhiều hơn một phép toán nhị phân. Giả sử rằng * mô tả phép toán nhị phân trên tập khác rỗng G. Trong trường hợp này, (G, *) sẽ được gọi là cấu trúc đại số. (1, -), (1, +), (N, *) đều là cấu trúc đại số.
(R, +,.) Là một loại cấu trúc đại số, được trang bị hai phép toán (+ và.)
Toán tử nhị phân của tập hợp
Trong lĩnh vực toán học, toán tử nhị phân tham chiếu đến các phép toán yêu cầu hai giá trị đầu vào, hay còn gọi là toán hạng, để tạo ra một kết quả. Các phép toán như cộng, trừ, nhân, và chia áp dụng cho cặp số đều thuộc loại này, và kết quả của chúng cũng thuộc cùng một phạm vi giá trị như các toán hạng ban đầu. Điều này có nghĩa là khi thực hiện một phép toán nhị phân trên các thành viên của một tập hợp, kết quả cũng sẽ thuộc về tập hợp đó.
Xét ví dụ, giả sử ta có một tập hợp không rỗng được định nghĩa là G. Một hàm từ G x G đến G, gọi là phép toán nhị phân trên G, định nghĩa một phép toán nhị phân trên tập hợp này.
Xét các phép toán nhị phân như sau:
- Phép Cộng: Xét hai số tự nhiên (a, b) và thực hiện phép cộng, kết quả sẽ là một số tự nhiên khác. Ví dụ, cộng 6 và 8 tạo ra 14, một kết quả cũng thuộc về tập hợp số tự nhiên. Tương tự, phép cộng cũng áp dụng cho số thực, với quy tắc (a, b) → a + b.
- Phép Nhân: Khi nhân hai số tự nhiên (a, b), kết quả sẽ là một số tự nhiên. Ví dụ, nhân 10 với 5 tạo ra 50, cũng là một số tự nhiên. Quy tắc này cũng áp dụng cho số thực, với quy tắc (a, b) → a × b.
- Phép Trừ: Phép trừ được áp dụng cho số thực (a, b) để tạo ra một số thực khác. Tuy nhiên, đối với số tự nhiên, phép trừ không luôn tạo ra số tự nhiên. Ví dụ, trừ 5 cho 7 tạo ra -2, không phải là số tự nhiên, vì vậy phép trừ không luôn áp dụng cho tập hợp số tự nhiên. Quy tắc cho số thực là (a, b) → a – b.
Như vậy, các toán tử nhị phân có vai trò quan trọng trong việc kết hợp các phần tử của một tập hợp để tạo ra kết quả mới, tuân theo các quy tắc nhất định và phù hợp với cấu trúc của tập hợp đó.
Các tính chất của cấu trúc đại số
Trong khuôn khổ của các cấu trúc đại số, các tính chất như giao hoán, kết hợp, phần tử đơn vị và nghịch đảo đóng vai trò quan trọng trong việc xác định cấu trúc và hoạt động của các tập hợp có cấu trúc.
- Tính Giao Hoán: Trong một tập hợp G với phép toán nhị phân *, tính giao hoán được thể hiện khi thực hiện phép toán * giữa bất kỳ hai phần tử x và y của G luôn cho cùng một kết quả bất kể thứ tự của chúng, tức là (x * y = y * x) cho mọi x, y thuộc G.
- Tính Kết Hợp: Tính kết hợp trong tập hợp G có phép toán nhị phân * thể hiện ở chỗ phép toán * trên ba phần tử bất kỳ của G luôn tuân theo quy tắc kết hợp. Điều này có nghĩa là, ( (x * y) * z = x * (y * z) ) cho mọi x, y, z trong G.
- Phần Tử Đơn Vị: Trong một hệ đại số bao gồm tập hợp G và phép toán nhị phân *, một phần tử đặc biệt e trong G được xem là phần tử đơn vị nếu nó tuân theo quy tắc ( x * e = e * x = x ) cho mọi x thuộc G. Phần tử này e đóng vai trò là phần tử không ảnh hưởng đến kết quả của phép toán khi kết hợp với bất kỳ phần tử nào khác trong G.
- Phần Tử Nghịch Đảo: Trong cùng một hệ đại số (G, *), nếu một phần tử x trong G có một phần tử tương ứng y mà thỏa mãn ( x * y = y * x = e ), nơi e là phần tử đơn vị, thì y được gọi là phần tử nghịch đảo của x. Trong mối quan hệ này, cả x và y đều được coi là nghịch đảo của nhau và thường được biểu diễn là ( x^{-1} ) sao cho ( x * x^{-1} = x^{-1} * x = e ).
- Tính Hủy: Tính hủy trong tập hợp G với phép toán nhị phân * cho thấy khi ( x * y = x * z ) thì kết luận được rằng ( y = z ), điều này được gọi là tính hủy bên trái. Tương tự, tính hủy bên phải được thể hiện khi ( y * x = z * x ) dẫn đến kết luận ( y = z ). Tính hủy giúp xác định tính đơn nhất của các phép toán trong cấu trúc đại số.
Các tính chất này không chỉ định hình cấu trúc nội tại của các tập hợp đại số mà còn hỗ trợ trong việc phát triển và phân tích các thuật toán và phương pháp giải quyết vấn đề trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học máy tính.
Các dạng cấu trúc đại số
Có nhiều loại cấu trúc đại số khác nhau, được mô tả như sau:
- Semigroup
- Monoid
- Group
- Abelian Group
Tất cả các cấu trúc đại số này có ứng dụng rộng rãi đặc biệt là mã hóa nhị phân và trong nhiều lĩnh vực khác.
Semigroup
Giả sử có một cấu trúc đại số (G, *), sẽ được gọi là semigroup nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
Đóng: Phép toán * là một phép toán đóng trên G có nghĩa là (a * b) thuộc tập G với mọi a, b ∈
Phép toán liên kết: Phép toán * hiển thị phép toán liên kết giữa a, b và c có nghĩa là a * (b * c) = (a * b) * c với mọi a, b, c trong G.
Lưu ý: Một cấu trúc đại số luôn được hiển thị bởi semigroup.
Ví dụ 1:
Các ví dụ về semigroup là (Ma trận, *) và (Tập hợp các số nguyên, +).
Ví dụ 2:
Semigroup chứa một tập hợp các số nguyên dương với một phép toán bổ sung hoặc phép nhân. Các số nguyên dương sẽ không chứa số không. Ví dụ: Giả sử chúng ta có một tập hợp G, chứa một số số nguyên dương ngoại trừ số 0 như 1, 2, 3, v.v. như thế này:
G = {1, 2, 3, 4, 5,… ..}
Tập hợp này chứa thuộc tính bao đóng vì theo thuộc tính bao đóng (a * b) thuộc về G với mọi phần tử a, b. Vì vậy, trong tập hợp này, (1 * 2) = 2 ∈
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính kết hợp vì theo thuộc tính kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) thuộc về G với mọi phần tử a, b, c. Vì vậy, trong tập hợp này, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 ∈
Monoid
Một monoid là một semigroup, nhưng nó chứa thêm một phần tử nhận dạng (E hoặc e). Một cấu trúc đại số (G, *) sẽ được gọi là một đơn thức nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
Đóng: G được đóng trong phép toán * có nghĩa là (a * b) thuộc tập G với mọi a, b ∈
Liên kết: Phép toán * hiển thị một phép toán kết hợp giữa a, b và c có nghĩa là a * (b * c) = (a * b) * c với mọi a, b, c trong G.
Phần tử nhận dạng: Phải có một danh tính trong tập G có nghĩa là a * e = e * a = a với mọi x.
Lưu ý: Một cấu trúc đại số và một nửa hàm luôn được hiển thị bằng một đơn thức.
Ví dụ 1:
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ lấy (Tập hợp các số nguyên, *), (Tập hợp các số tự nhiên, +) và (Tập hợp các số nguyên, +). Ở đâu
Monoid được hiển thị bằng (Tập hợp các số nguyên, *) vì 1 là một số nguyên và nó cũng là một phần tử nhận dạng.
Monoid không được hiển thị bằng (Tập hợp các số tự nhiên, +) vì không có phần tử nhận dạng, nhưng nó là một nhóm bán nghĩa.
Monoid được hiển thị bằng (Tập hợp các số nguyên, +) vì nó chứa 0 làm phần tử nhận dạng.
Ví dụ 2:
Đơn thức chứa một tập hợp các số nguyên dương với các phép toán bổ sung hoặc nhân trừ số không. Ví dụ: Giả sử chúng ta có một tập hợp G, chứa một số số nguyên dương như 1, 2, 3, v.v. như thế này:
G = {1, 2, 3, 4, 5,… ..}
Tập hợp này chứa thuộc tính bao đóng vì theo thuộc tính bao đóng (a * b) thuộc về G với mọi phần tử a, b. Vì vậy, trong tập hợp này, (1 * 2) = 2, v.v.
Tập hợp này chứa thuộc tính kết hợp vì theo thuộc tính kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) thuộc về G với mọi phần tử a, b, c. Vì vậy, trong tập hợp này, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 5, v.v.
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính đồng nhất vì theo thuộc tính này a * e = e * a = a, trong đó a ∈ Vậy trong tập này, (2 × 1) = 2, (3 × 1) = 3, v.v. Trong trường hợp của chúng tôi, 1 là yếu tố nhận dạng.
Group
Một Nhóm là một đơn thức, nhưng nó chứa thêm một phần tử nghịch đảo, được ký hiệu là 1. Một cấu trúc đại số (G, *) sẽ được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
Đóng: G được đóng trong phép toán * có nghĩa là (a * b) thuộc tập G với mọi a, b ∈
Liên kết: * hiển thị phép toán liên kết giữa a, b và c có nghĩa là a * (b * c) = (a * b) * c với mọi a, b, c trong G.
Phần tử nhận dạng: Phải có một danh tính trong tập G có nghĩa là a * e = e * a = a với mọi a.
Phần tử nghịch đảo: Nó chứa phần tử nghịch đảo có nghĩa là a * a-1 = a-1 * a = e với a ∈
Lưu ý: Một cấu trúc đại số, semigroup và monoid luôn được hiển thị bởi một Group.
Ví dụ 1:
Các ví dụ về nhóm là phép nhân ma trận và (Z, +).
Ví dụ 2:
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ sử dụng phép toán nhân ma trận trên tập các ma trận không số ít N × N từ một nhóm.
Nếu chúng ta thực hiện phép nhân các ma trận không kỳ dị N × N, thì nó cũng sẽ là một ma trận không kỳ dị N × N, giữ thuộc tính của bao đóng.
Phép nhân ma trận tự nó giữ thuộc tính liên kết. Vì vậy, nó cũng có tính liên kết.
Ma trận nhận dạng được chứa trong tập các ma trận không số ít N × N, chứa thuộc tính của phần tử nhận dạng.
Như chúng ta đã thấy rằng tất cả các ma trận đều không phải là số ít. Vì vậy, chúng sẽ chứa các phần tử nghịch đảo, cũng sẽ là các phần tử không số ít
băng giá. Do đó, nó cũng có thuộc tính nghịch đảo.
Abelian Group
Nhóm abelian là một nhóm, nhưng nó chứa luật giao hoán. Một cấu trúc đại số (G, *) sẽ được gọi là một nhóm abel nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
- Đóng: G được đóng trong phép toán * có nghĩa là (a * b) thuộc tập G với mọi a, b ∈
- Liên kết: * hiển thị phép toán liên kết giữa a, b và c có nghĩa là a * (b * c) = (a * b) * c với mọi a, b, c trong G.
- Phần tử nhận dạng: Phải có một danh tính trong tập G có nghĩa là a * e = e * a = a với mọi a.
- Phần tử nghịch đảo: Nó chứa phần tử nghịch đảo có nghĩa là a * a-1 = a-1 * a = e với a ∈
- Luật giao hoán: Sẽ có luật giao hoán sao cho a * b = b * a sao cho a, b thuộc G.
Lưu ý: (Z, +) là một nhóm Abel vì nó có tính chất giao hoán, nhưng phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán, đó là lý do tại sao nó không phải là một nhóm abel.
Ví dụ: Giả sử chúng ta có một tập hợp G, chứa một số số nguyên dương ngoại trừ số 0 như 1, 2, 3, v.v. với các phép toán bổ sung như sau:
G = {1, 2, 3, 4, 5,… ..}
Tập hợp này chứa thuộc tính bao đóng vì theo thuộc tính bao đóng (a + b) thuộc về G với mọi phần tử a, b. Vì vậy, trong tập này, (1 + 2) = 2 ∈ G, v.v.
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính kết hợp vì theo thuộc tính kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) thuộc về G với mọi phần tử a, b, c. Vì vậy, trong tập này, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 ∈ G, v.v.
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính đồng nhất vì theo thuộc tính này (a * e) = a, trong đó a ∈ Vậy trong tập này, (2 × 1) = 2, (3 × 1) = 3, v.v. Trong trường hợp của chúng tôi, 1 là yếu tố nhận dạng.
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính giao hoán vì theo tính chất này (a * b) = (b * a), trong đó a, b ∈ Vì vậy, trong tập này, (2 × 3) = (3 × 2) = 6, v.v. .
