Các bài viết liên quan:
Có nhiều thuộc tính của các phép toán nhị phân như sau:
- Thuộc tính đóng: Xét một tập A không rỗng và một phép toán nhị phân * trên A. Sau đó được đóng theo phép toán *, nếu a * b ∈ A, trong đó a và b là các phần tử của A.
Ví dụ 1: Phép cộng trên tập hợp các số nguyên là một phép toán đóng.
Ví dụ 2: Xét tập A = {-1, 0, 1}. Xác định xem A có đóng cửa dưới
- Phép cộng
- Phép nhân
(i) Tổng các phần tử là (-1) + (-1) = -2 và 1 + 1 = 2 không thuộc A. Do đó A không đóng trong phép cộng.
(ii) Phép nhân của mọi phần tử của tập hợp là
-1 * 0 = 0; -1 * 1 = -1; -1 * -1 = 1
0 * -1 = 0; 0 * 1 = 0; 0 * 0 = 0
1 * -1 = -1; 1 * 0 = 0; 1 * 1 = 1
Vì mỗi phép nhân thuộc về A nên A được đóng dưới phép nhân.
- Thuộc tính kết hợp: Xét một tập A không rỗng và một phép toán nhị phân * trên A. Khi đó, phép toán * trên A là phép kết hợp, nếu với mọi a, b, c, ∈ A, ta có (a * b) * c = a * (b * c).
Ví dụ: Xét phép toán nhị phân * trên Q, tập hợp các số hữu tỉ, được xác định bởi a * b = a + b – ab ∀ a, b ∈ Q.
Xác định xem * có phải là kết hợp hay không.
Giải: Giả sử một số phần tử a, b, c ∈ Q, khi đó định nghĩa
(a * b) * c = (a + b- ab) * c = (a + b- ab) + c – (a + b- ab) c
= a + b- ab + c – ca -bc + abc = a + b + c – ab – ac -bc + abc.
Tương tự, chúng tôi có
a * (b * c) = a + b + c – ab – ac -bc + abc
Do đó, (a * b) * c = a * (b * c)
Do đó, * là kết hợp.
- Tính chất giao hoán: Xét một tập A không rỗng và một phép toán nhị phân * trên A. Khi đó phép toán * trên A là phép kết hợp, nếu với mọi a, b, ∈ A, ta có a * b = b * a.
Ví dụ: Xét phép toán nhị phân * trên Q, tập hợp các số hữu tỉ, được xác định bởi a * b = a2 + b2 ∀ a, b∈Q.
Xác định xem * có phải là giao hoán hay không.
Giải: Giả sử một số phần tử a, b, ∈ Q, sau đó xác định
a * b = a2 + b2 = b * a
Do đó, * là giao hoán.
- Tính đơn vị: Xét một tập A không rỗng và một phép toán nhị phân * trên A. Sau đó, phép toán * có thuộc tính nhận dạng nếu tồn tại một phần tử e trong A sao cho a * e (đúng định danh) = e * a ( sắc trái) = a ∀ a ∈ A.
Ví dụ: Xét phép toán nhị phân * trên I +, tập hợp các số nguyên dương được xác định bởi a * b = Các tính chất toán học rời rạc của phép toán nhị phân
Xác định danh tính cho phép toán nhị phân *, nếu tồn tại.
Giải pháp: Hãy giả sử rằng e là một + ve số nguyên, khi đó
e * a, a ∈ I +
Tính chất toán học rời rạc của phép toán nhị phân = a, e = 2 …………… phương trình (i)
Tương tự, a * e = a, a ∈ I +
Tính chất toán học rời rạc của phép toán nhị phân = 2 hoặc e = 2 ……….. phương trình (ii)
Từ phương trình (i) và (ii) với e = 2, ta có e * a = a * e = a
Do đó, 2 là các yếu tố nhận dạng cho *.
- Nghịch đảo: Xét một tập A không rỗng và một phép toán nhị phân * trên A. Khi đó phép toán là tính chất nghịch đảo, nếu với mỗi a ∈A, tồn tại một phần tử b trong A sao cho a * b (đúng nghịch đảo) = b * a (nghịch đảo trái) = e, trong đó b được gọi là nghịch đảo của a.
- Idempotent: Xét một tập A không rỗng và một phép toán nhị phân * trên A. Khi đó, phép toán * có tính chất iđêan, nếu với mỗi a ∈A, ta có a * a = a ∀ a ∈A
- Tính phân phối: Xét một tập A không rỗng và một phép toán nhị phân * trên A. Sau đó, phép toán * phân phối trên +, nếu với mọi a, b, c ∈A, chúng ta có
a * (b + c) = (a * b) + (a * c) [phân phối bên trái]
(b + c) * a = (b * a) + (c * a) [phân phối bên phải]
- Phép hủy: Xét một tập A không rỗng và một phép toán nhị phân * trên A. Khi đó phép toán * có thuộc tính hủy bỏ, nếu với mọi a, b, c ∈A, chúng ta có
a * b = a * c ⇒ b = c [hủy bỏ]
b * a = c * a ⇒ b = c [Hủy bên phải]
