Nguyên tắc đối ngẫu là một loại thuộc tính phổ biến của cấu trúc đại số, trong đó hai khái niệm chỉ có thể hoán đổi cho nhau nếu tất cả các kết quả được tổ chức trong một công thức cũng giống như một công thức khác. Khái niệm này được gọi là công thức kép. Chúng ta sẽ hoán đổi các liên hợp (∪) thành giao điểm (∩) hoặc giao điểm () thành liên hợp () và cũng hoán đổi tập hợp phổ quát thành tập hợp rỗng (∅) hoặc tập hợp rỗng thành tập hợp phổ (U) để có được câu lệnh kép. Nếu chúng ta hoán đổi ký hiệu và nhận được chính câu lệnh này, nó sẽ được gọi là câu lệnh tự kép.
Các bài viết liên quan:
Ví dụ:
Đối ngẫu của (X ∩ Y) ∪ Z là (X ∪ Y) ∩ Z
Đối ngẫu cũng có thể được mô tả như một thuộc tính thuộc về nhánh của đại số. Lý thuyết này có thể được gọi là lý thuyết mạng tinh thể. Lý thuyết này có khả năng liên quan đến trật tự và cấu trúc, những thứ phổ biến đối với các hệ thống toán học khác nhau. Nếu hệ thống toán học có thứ tự theo một cách xác định, cấu trúc này sẽ được gọi là mạng tinh thể.
Không nên né tránh hoặc đánh giá thấp nguyên tắc của khái niệm đối ngẫu. Nó có khả năng cung cấp một số bộ định lý, khái niệm và danh tính. Để giải thích nguyên tắc đối ngẫu của tập hợp, chúng ta sẽ giả sử S là bất kỳ đồng dạng nào liên quan đến tập hợp và phép toán bù, liên hợp, giao nhau. Giả sử chúng ta thu được S * từ S với sự trợ giúp của phép thay thế ∪ → ∩ Φ. Trong trường hợp này, câu lệnh S * cũng sẽ đúng, và S * cũng có thể được gọi là câu lệnh S kép.
Ví dụ về tính hai mặt:
Ví dụ 1:
A ∪ (B ∩ A) = A
Khi chúng ta thực hiện đối ngẫu, thì liên hợp sẽ được thay thế bằng giao điểm, hoặc giao điểm sẽ được thay thế bởi liên hợp.
A ∩ (B ∪ A) = A
Ví dụ 2:
A ∪ ((BC ∪ A) ∩ B) C = U
Khi chúng ta thực hiện đối ngẫu, thì liên hợp sẽ được thay thế bằng giao điểm, hoặc giao điểm sẽ được thay thế bởi liên hợp. Phổ biến cũng sẽ được thay thế bằng null, hoặc null sẽ được thay thế bằng phổ quát.
A ∩ ((BC ∩ A) ∪ B) C = Φ
Ví dụ 3:
(A ∪ BC) C ∩ B = AC ∩ B
Khi chúng ta thực hiện đối ngẫu, thì liên hợp sẽ được thay thế bằng giao điểm, hoặc giao điểm sẽ được thay thế bởi liên hợp.
(A ∩ BC) C ∪ B = AC ∪ B
Các hệ thống khác nhau có cấu trúc mạng tinh thể cơ bản: cấu trúc biểu tượng, lý thuyết tập hợp và hình học xạ ảnh. Các hệ thống này cũng chứa đựng các nguyên tắc đối ngẫu.
Hình học xạ ảnh
Cấu trúc mạng tinh thể được chứa trong hình học xạ ảnh. Cấu trúc này có thể được nhìn thấy bằng cách sắp xếp các mặt phẳng, điểm và đường với sự trợ giúp của quan hệ bao hàm. Trong hình học xạ ảnh của mặt phẳng, các câu lệnh kép có thể được mô tả bằng cách hoán đổi đường thẳng và điểm. Phát biểu kép của hình học xạ ảnh là “Một đoạn thẳng có thể được xác định bởi hai điểm” và “một điểm có thể được xác định bởi hai đoạn thẳng”. Trong hình học xạ ảnh, phát biểu cuối cùng này luôn đúng vì tiên đề không cho phép các đường thẳng song song, nhưng nó đôi khi sai trong hình học Euclide.
Câu lệnh kép phải rõ ràng, vì vậy khi chúng ta sửa đổi ngôn ngữ của một câu lệnh để chỉ định câu lệnh, nó sẽ được hiểu rõ ràng. Câu lệnh kép “Hai đường thẳng xác định một điểm” rõ ràng hơn so với câu lệnh kép “Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm”. Nếu chúng ta chỉ định một đoạn thẳng và coi nó như một cái bút chì hoặc một tập hợp chứa tất cả các dòng mà nó nằm trên đó, thì câu nói “Hai điểm cắt nhau trên một đường thẳng” cũng sẽ rõ ràng. Bản thân khái niệm này cũng là đối ngẫu bởi vì trong khái niệm này, chúng ta coi đường thẳng là một tập hợp tất cả các điểm nằm trên nó.
Lý thuyết tập hợp
Nguyên tắc đối ngẫu của tập hợp là tính chất quan trọng và mạnh nhất của đại số tập hợp. Nó nói rằng câu lệnh kép có thể nhận được cho bất kỳ câu lệnh true nào liên quan đến thiết lập bằng cách hoán đổi liên hợp thành giao nhau và hoán đổi phổ quát (U) thành null. Mặt trái của sự bao gồm này cũng đúng. Trong lý thuyết tập hợp, chúng ta có thể hoán đổi các quan hệ “chứa” và “chứa trong” với liên hợp trở thành giao điểm và ngược lại. Khái niệm này được gọi là tự kép bởi vì, trong khái niệm này, cấu trúc ban đầu sẽ không thay đổi. Nếu câu lệnh giống như đối ngẫu của chính nó, nó sẽ được gọi là tự kép.
Ví dụ:
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ sử dụng toán tử bổ sung để cân bằng các tập hợp, chứa các giao điểm và kết hợp.
(A∩B) C = AC∪BC (A∩B) C = AC∪BC và (A∪B) C = AC∩BC
Tất cả các bộ sẽ được thay thế bằng phần bổ sung của chúng khi chúng ta dọn sạch bụi sau khi thi công c. Điều đó có nghĩa là các đoàn sẽ được thay thế bằng các ngã tư và ngược lại.
(A∪B) C = AC∩BC (A∪B) C = AC∩BC và (A∩B) C = AC∪BC
Logic tượng trưng
Logic biểu tượng có thể được biết đến như một loại logic đơn giản nhất. Nó có thể tiết kiệm rất nhiều thời gian trong việc tranh luận. Nhiều sự nhầm lẫn logic khác nhau cũng có thể được giải quyết bằng logic này. Nó cũng có khả năng biểu diễn biểu thức logic với sự trợ giúp của các ký hiệu và biến để chúng có thể loại bỏ sự mơ hồ. Mối quan tâm chính của lôgic biểu tượng là phân tích tính đúng đắn của các quy luật lôgic như thuyết âm tiết giả thuyết, quy luật mâu thuẫn, v.v. Lôgic biểu tượng cũng chứa tính đối ngẫu tương tự nếu chúng ta trao đổi “được ngụ ý bởi” và “được ngụ ý” với các liên kết lôgic “hoặc ” và và”. Vì vậy, chúng ta có thể nói
rằng nếu chúng ta hoán đổi hai từ, một câu đúng có thể nhận được từ một câu khác.
Ví dụ:
p ∪ ((q ∪ p) ∩ q) = 1
Khi chúng ta thực hiện phép đối ngẫu, tất cả các biểu tượng sẽ được thay thế bằng phần bổ sung của chúng. Điều đó có nghĩa là các đoàn sẽ được thay thế bằng các ngã tư và ngược lại.
