Mệnh đề nguyên tử là một loại mệnh đề chứa giá trị chân lý có thể đúng hoặc sai. Ví dụ:
- 3 + 3 = 5
- Narendra Modi là Thủ tướng.
- ‘a’ là một nguyên âm.
Ví dụ này có ba câu là mệnh đề. Trong đó câu đầu tiên là Sai hoặc không hợp lệ và hai câu cuối là Đúng hoặc Hợp lệ.
Bây giờ chúng ta giải thích một số câu không phải là mệnh đề có nghĩa là chúng có nhiều hơn một giá trị chân lý hoặc không có một giá trị chân lý.
Ví dụ:
- 1 + a = 5
- Đi nghỉ và tận hưởng
- Bạn đang đi chơi đâu đó?
Ví dụ này có ba câu không phải là mệnh đề vì câu đầu tiên có thể sai hoặc đúng vì giá trị của ‘a’ không được chỉ định, vì vậy chúng ta không thể nói rằng nó đúng hay sai trừ khi chúng ta chỉ định giá trị và hai giá trị cuối cùng. câu không có giá trị chân lý.
Các bài viết liên quan:
Chúng ta có thể dễ dàng xác định rằng bất kỳ câu nào đã cho có phải là mệnh đề hay không bằng cách đặt trước những câu đó bằng
Đúng là..và đặt câu.
Sau khi đặt nó, chúng tôi sẽ kiểm tra xem câu đó có đúng ngữ pháp hay không. Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng các biến mệnh đề để tránh viết đầy đủ mệnh đề. Biến mệnh đề có thể được biểu diễn bằng các chữ cái thường như x, y, z, v.v. Nếu chúng ta định nghĩa một biến mệnh đề thay vì một câu đầy đủ, chúng ta phải định nghĩa nó để viết một cái gì đó như:
Gọi x là Marry là trưởng bộ phận.
Ngoài ra còn có một giải pháp thay thế. Chúng ta có thể viết một câu giống như wing_flaps_are_up để ý nghĩa của các biến mệnh đề trở nên rõ ràng.
Các bài viết liên quan:
Kết nối mệnh đề nguyên tử
Bây giờ chúng ta sẽ giải thích về liên kết, điều này sẽ giúp chúng ta tạo ra các mệnh đề phức tạp. Các kết nối khác nhau được hiển thị như sau:
- VÀ (∧)
- HOẶC (∨)
- Phủ định / KHÔNG (¬)
- Hàm ý / Nếu-thì (⊃ hoặc →)
- Iff hoặc If và chỉ khi (⇔)
VÀ (∧):
Nếu chúng ta kết hợp hai mệnh đề với từ ‘và’ và tạo thành mệnh đề thứ ba, nó sẽ được gọi là mệnh đề kết hợp / và của mệnh đề ban đầu. Giả sử X và Y là hai biến số của mệnh đề nguyên tử. Mệnh đề của các biến này sẽ đúng nếu cả X và Y đều đúng. Sự kết hợp của X và Y được thể hiện như sau:
X ∧ Y
Hoạt động với kết nối AND (∧) có thể được tóm tắt trong bảng sự thật. Ý tưởng bảng chân trị cho một số công thức cho thấy rằng hoạt động của công thức có thể được mô tả dưới tất cả các cách diễn giải có thể có của các mệnh đề nguyên thủy có trong công thức.
Giả sử một số công thức chứa n mệnh đề nguyên tử khác nhau. Trong trường hợp đó, bảng chân trị sẽ chứa 2n dòng khác nhau cho công thức đó. Lý do là mọi mệnh đề chỉ có thể nhận một giá trị trong hai giá trị. Chúng có thể đúng hoặc sai.
Chúng ta sẽ ký hiệu F là false và T là true. Bây giờ bảng chân trị cho X ∧ Y được mô tả như sau:
Ví dụ:
Chúng ta sẽ giả sử kết hợp của mệnh đề X = “Hôm nay là một ngày nắng” và Y = “hôm nay là Thứ Năm”. X ∧ Y là “Hôm nay là một ngày nắng và hôm nay là thứ Năm”. Mệnh đề này sẽ chỉ đúng vào Thứ Năm đầy nắng và sẽ sai vào bất kỳ ngày nắng nào khác hoặc khi trời không nắng vào Thứ Năm.
HOẶC (∨)
Nếu chúng ta kết hợp hai mệnh đề với từ ‘hoặc’ và tạo thành mệnh đề thứ ba, nó sẽ được gọi là sự tách rời các mệnh đề ban đầu. Giả sử X và Y là hai biến số của mệnh đề nguyên tử. Mệnh đề của các biến này sẽ đúng nếu cả X và Y đều đúng, hoặc X đúng hoặc Y đúng. Sự tách biệt của X và Y được thể hiện như sau:
X ∨ Y
Bảng chân trị của X? Y được mô tả như sau:
Ví dụ:
Chúng ta sẽ giả sử sự tách biệt của mệnh đề X = “Hôm nay là một ngày nắng” và Y = “hôm nay là Thứ Năm”. X ∨ Y là “Hôm nay là một ngày nắng hoặc hôm nay là thứ Năm”. Mệnh đề này sẽ đúng vào một ngày nắng hoặc bất kỳ ngày nào là Thứ Năm, và sẽ sai khi trời không nắng và ngày không phải là Thứ Năm.
Hàm ý hoặc Nếu-Thì (→)
Trong toán học, nhiều câu có dạng
Nếu X đúng thì Y cũng đúng.
Chúng ta có thể nói điều này theo một cách khác nói rằng
X ngụ ý Y
Có một liên kết trong logic mệnh đề, đó là nếu-thì. Mục đích của liên kết này là kết hợp hai mệnh đề thành một mệnh đề mới được gọi là hàm ý hoặc điều kiện của mệnh đề ban đầu, được sử dụng để nắm bắt ý nghĩa của tuyên bố đó.
Giả sử X và Y là hai biến số của mệnh đề nguyên tử. Mệnh đề của các biến này sẽ đúng trong mọi trường hợp ngoại trừ trường hợp X đúng và Y sai. Hàm ý của X và Y được thể hiện như sau:
X → Y
Bảng chân trị của X → Y được mô tả như sau:
Toán tử if-then (→) cực kỳ quan trọng và khó hiểu nhất. Vì vậy chúng ta có thể hiểu X → Y theo cách hiểu rằng nếu X sai thì X → Y cũng đúng dù Y có giá trị như thế nào đi chăng nữa.
Ví dụ:
Chúng ta sẽ giả sử mệnh đề X = “Hôm nay là một ngày nắng” và Y = “hôm nay là Thứ Năm”. X → Y là “Nếu trời nắng thì hôm nay là thứ năm”. Mệnh đề này sẽ đúng
nếu nó không phải là một ngày nắng hoặc nếu nó là một ngày nắng và nó là thứ năm, và sai khi nó là một ngày nắng, nhưng nó không phải là thứ năm.
Nếu và chỉ khi (⇔)
Ở đây, X ⇔ Y được gọi là kết nối logic hai điều kiện. Trong toán học, có một dạng phát biểu nữa nói rằng
X đúng nếu và chỉ khi Y đúng.
Chúng ta có thể hiểu theo nghĩa của câu lệnh trên bằng cách sử dụng toán tử điều kiện hai (⇔). Giả sử X và Y là hai biến số của mệnh đề nguyên tử. Điều kiện sinh học của các biến này sẽ đúng nếu X và Y đều giống nhau. Điều đó có nghĩa là X và Y đều sai hoặc X và Y đều đúng. Điều kiện kép của X và Y được hiển thị như sau:
X ⇔ Y
Bảng chân trị cho X ⇔ Y được mô tả như sau:
X và Y sẽ được gọi là tương đương về mặt logic nếu X ⇔ Y là đúng.
Ví dụ:
Chúng ta sẽ giả sử mệnh đề X = “Hôm nay là một ngày nắng” và Y = “hôm nay là Thứ Năm”. X ⇔ Y là “Nếu hôm nay trời nắng nếu và chỉ khi hôm nay là Thứ Năm”. Mệnh đề này sẽ sai khi nó không phải là một ngày nắng hoặc không phải là Thứ Năm, và đúng nếu nó không phải là một ngày nắng và không phải là Thứ Năm hoặc nếu nó là một ngày nắng và đó là Thứ Năm.
Phủ định (¬)
Tất cả bốn kết nối ở trên được coi là nhị phân vì tất cả bốn kết nối này có hai đối số. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét kết nối cuối cùng ‘không phải’, là kết nối đơn phân vì nó chỉ cần một đối số.
Chúng ta có thể đặt trước bất kỳ mệnh đề nào bằng từ ‘not’ và tạo thành mệnh đề thứ hai, mệnh đề này sẽ được gọi là sự phủ định của mệnh đề ban đầu. Giả sử X là một mệnh đề nguyên tử. Mệnh đề của biến này sẽ đúng nếu X sai. Sự phủ định của X được thể hiện như sau:
¬X
Bảng chân trị cho ¬X được mô tả như sau:
Ví dụ:
Chúng ta sẽ giả sử mệnh đề X = “Hôm nay là Thứ Năm”. Phủ định của X sẽ là “Hôm nay không phải là thứ Năm”.
Tautology, Nhất quán và Không nhất quán
Nếu chúng ta có một công thức, chúng ta không thể biết nó đúng hay sai nếu không sử dụng bảng sự thật. Chúng tôi thường yêu cầu các giá trị chân lý của các mệnh đề nguyên tử thành phần để tìm ra rằng công thức đã cho là đúng hay không.
Valuation
Giá trị là một loại hàm được sử dụng để cung cấp giá trị thực của mỗi mệnh đề ban đầu. Sử dụng định giá, nó có thể thấy rằng bất kỳ công thức nào là đúng hoặc sai.
Ví dụ: Giả sử có một định giá v, như vậy:
v (x) = F v (y) = T v (z) = F
Bây giờ chúng ta sẽ đánh giá giá trị chân lý của (x ∨ y) → z như sau:
(v (x) ∨ v (y)) → v (z) (1)
= (F ∨ T) → F (2)
= T → F (3)
= F (4)
Thông qua bảng chân lý của kết nối hoặc (∨), chúng ta biết rằng F ∨ T = T. Đó là lý do tại sao dòng 3 là hợp lý. Qua bảng chân lý của hàm ý (→), chúng ta biết rằng T → F = F.
Tautology
Một công thức sẽ được gọi là tautology nếu nó đúng trong mọi định giá.
Ví dụ: Ta phải chứng minh rằng [(X → Y) ∧ X] → Y là một phép đồng dạng. Bảng sự thật cho công thức này được mô tả như sau:
Sử dụng bảng chân lý trên, chúng ta đã chứng minh rằng [(X → Y) ∧ X] → Y là True. Đó là lý do tại sao nó là Tautology.
Consistent hoặc Contingency
Một công thức sẽ được coi là nhất quán nếu nó đúng với ít nhất một giá trị.
Ví dụ: Chúng ta phải chứng minh rằng (X ∨ Y) ∧ (¬X) là nhất quán. Bảng sự thật cho công thức này được mô tả như sau:
Sử dụng bảng chân trị trên, chúng ta đã chứng minh rằng (X ∨ Y) ∧ (¬X) vừa đúng vừa sai. Đó là lý do tại sao nó là nhất quán.
Inconsistent hoặc Contradictions
Một công thức sẽ được coi là không nhất quán nếu nó sai trong mọi định giá.
Ví dụ: Chúng ta phải chứng minh rằng (X ∨ Y) ∧ [(¬X) ∧ (¬Y)] là nhất quán. Bảng sự thật cho công thức này được mô tả như sau:
Sử dụng bảng chân trị trên, chúng ta đã chứng minh rằng (X ∨ Y) ∧ [(¬X) ∧ (¬Y)] là sai. Đó là lý do tại sao nó là Không nhất quán.
Tương đương theo mệnh đề
Giả sử chúng ta có hai câu lệnh, X và Y. Chúng sẽ tương đương về mặt logic với nhau nếu nó có bất kỳ điều kiện nào trong hai điều kiện sau:
Trong điều kiện đầu tiên, bảng chân trị của mỗi câu lệnh sẽ có các giá trị chân lý giống nhau.
Trong điều kiện thứ hai, các câu lệnh của X⇔Y có điều kiện hai sẽ có tính chất tautology.
Ví dụ: Chúng ta phải chứng minh rằng ¬ (X ∨ Y) và [(¬X) ∧ (¬Y)] là tương đương. Bảng sự thật cho câu lệnh trên bằng cách sử dụng phương pháp đầu tiên được mô tả như sau:
Trong bảng chân lý trên, chúng ta có thể thấy rằng cả hai câu lệnh ¬ (X ∨ Y) và [(¬X) ∧ (¬Y)] đều giống nhau. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng các câu lệnh là tương đương.
Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra cả hai câu lệnh bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai, là phương thức hai điều kiện.
Trong bảng chân trị trên, chúng ta có thể thấy rằng [¬ (X ∨ Y)] ⇔ [(¬X) ∧ (¬Y)]
là một phép rút gọn vì nó đúng với mọi giá trị của các biến mệnh đề của nó. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng các câu lệnh là tương đương.
