Hàm bijective cũng có thể được gọi là hàm tương ứng một đối một hoặc hàm sinh đôi. Một đối một (chức năng tiêm) và một đối một, cả hai đều là những thứ khác nhau. Vì vậy, chúng ta không nên nhầm lẫn về những điều này. Một hàm sẽ được gọi là hàm nhị phân nếu một hàm f: X → Y thỏa mãn cả hai thuộc tính của hàm xạ ảnh (lên hàm) và hàm tổng hợp (một đối với một hàm) cả hai.
Định nghĩa Bijective Function
Một hàm được cho là bijective(lưỡng tính) hoặc bijection(nhị phân), nếu một hàm f: A → B thỏa mãn cả hai thuộc tính hàm phân tích one-to-one function) và surjective function (onto function). Có nghĩa là mọi phần tử “b” trong Domain B, có đúng một phần tử “a” trong Domain A.
Các bài viết liên quan:
Trong phép lưỡng phân, mọi phần tử của một tập hợp đều có đối tác của nó và không ai bị bỏ sót. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng các thành viên của tập hợp có “sự tương ứng 1-1” hoàn hảo. Hàm bijection cũng có thể được gọi là hàm nghịch đảo vì chúng chứa thuộc tính của hàm nghịch đảo. Ký hiệu f-1 được sử dụng để biểu thị nghịch đảo của một phép phân tích. Trong hàm ngược, mọi ‘b’ đều có một so khớp với ‘a’, và mọi ‘a’ đi đến một ‘b’ duy nhất có nghĩa là f (a) = b. Do đó f-1 (b) = a.
Thuộc tính của Bijective Function
Nếu một hàm nhị phân chứa một hàm f: X → Y, thì mọi hàm của x ∈ X và mọi hàm của y ∈ Y sao cho f (x) = y. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng phần tử ‘a’ là tiền nghĩa của phần tử ‘b’. Tương tự như phần tử ‘b’ là hình ảnh của phần tử ‘a’. Bây giờ chúng ta sẽ học thuộc tính cơ bản của hàm bijective, được mô tả như sau:
Nếu chúng ta đang cố gắng ánh xạ hai hàm, X và Y, thì nó sẽ trở thành bijective nếu nó chứa các thuộc tính sau:
- Mỗi và mọi phần tử của X phải ghép nối với ít nhất một phần tử của Y.
- Phần tử của X không được ghép nối với nhiều hơn một phần tử của Y.
- Mỗi và mọi phần tử của Y phải ghép nối với ít nhất một phần tử của X.
- Phần tử của Y không được ghép nối với nhiều hơn một phần tử của X.
Phân biệt
Ở đây chúng ta sẽ tìm hiểu về sự khác biệt giữa tương ứng (một đối một), thay đổi (vào) và bijective (tương ứng một đối một), được mô tả như sau:
Injective Function:Một hàm sẽ bị lỗi nếu phần tử riêng biệt của miền ánh xạ các phần tử riêng biệt của miền đồng đó. Hàm này cũng có thể được gọi là hàm một đối một.
Surjective Function:Một hàm sẽ là hàm phụ nếu một nhiều hơn một phần tử của A ánh xạ cùng một phần tử của B.Hàm này cũng có thể được gọi là một hàm lên.
Bijective Function: chứa cả hàm truyền cảm và hàm phụ.Chức năng này cũng có thể được gọi là tương ứng 1-1.
Chứng minh rằng các hàm là Bijective
Trong phần này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng các chức năng được mô tả có phải là bijective hay không. Nếu chúng ta cần xác định phép chiếu giữa hai, thì trước tiên chúng ta sẽ xác định một ánh xạ f: A → B. Sau đó, chúng ta sẽ kết luận | A | = | B | để chứng tỏ rằng f là một phép phân tích. Chúng ta có thể chứng minh rằng hàm f là nhị phân với sự trợ giúp của việc viết nghịch đảo cho f, hoặc chúng ta có thể nói nó theo hai bước, được mô tả như sau:
- f là surjective
- f là injective
Nếu chúng ta có hai tập hợp A và B, và chúng có cùng kích thước, trong trường hợp này, sẽ không có sự phân biệt giữa các tập hợp và hàm sẽ không có tính phân vị. Bijection có thể được mô tả như một sự “ghép đôi” của phần tử của miền A với phần tử của miền B. Trong thực tế, sẽ có n! các đường nhị hợp giữa A và B nếu | A | = | B | = n.
Ví dụ về chức năng Bijective
Ở đây chúng tôi sẽ giải thích các ví dụ khác nhau về hàm bijective.
Ví dụ 1:
Trong ví dụ này, chúng ta phải chứng minh rằng hàm số f (x) = 3x – 5 là khả vi từ R đến R.
Đáp án
Trên cơ sở của hàm bijective, một hàm cho trước f (x) = 3x -5 sẽ là một hàm bijective nếu nó chứa cả hàm phụ và hàm vi phân.
- Chứng minh rằng Hàm là injective
Nếu chúng ta muốn chứng tỏ rằng hàm số đã cho là vô nghiệm, thì chúng ta chứng minh rằng f (a) = c và f (b) = c thì a = b.
Đối với điều này, chúng tôi sẽ giả định rằng
f (a) = c và f (b) = c
Do đó, chúng ta có thể viết nó như thế này:
c = 3a -5 và c = 3b -5
Vì vậy, chúng ta có thể viết nó như thế này:
3a – 5 = 3b – 5
Khi chúng ta đơn giản hóa phương trình này, chúng ta sẽ nhận được như sau:
a = b
Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng hàm số f (x) = 3x -5 đã cho là vô nghiệm.
- Chứng minh rằng chức năng là Surjective
Nếu chúng ta muốn chỉ ra rằng một hàm đã cho là hàm phụ, thì trước tiên chúng ta phải chứng minh rằng trong phạm vi đối với bất kỳ điểm ‘a’ nào, tồn tại một điểm ‘b’ trong tên miền phụ ‘s’. Điều đó có nghĩa là f (b) = a.
Đối với điều này, chúng tôi sẽ giả định rằng
a = 3x – 5
Do đó, giá trị của b sẽ như thế này:
b = (a + 5) / 3
Vì, số trên là một số thực và nó cũng được hiển thị trong miền. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng hàm là hàm phụ.
Như vậy, hàm số f (x) = 3x – 5 thỏa mãn điều kiện đồng biến trên một hàm số. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng hàm đã cho là hàm bijective.
Ví dụ 2:
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ có một hàm f: A → B, trong đó tập A = {x, y, z} và B = {a, b, c}. Chúng ta phải chứng minh rằng chức năng này là bijective hay không.
Đáp án
Như chúng ta biết f: A → B sao cho
f = {(x, a), (y, b), (z, c)}
Như chúng ta có thể thấy rằng hàm trên thỏa mãn thuộc tính của hàm on
ion và một đối một chức năng. Đó là lý do tại sao hàm đã cho là một hàm bijective.
Ví dụ 3:
Trong ví dụ này, chúng ta phải chứng minh rằng hàm f (x) = x2 có phải là một hàm nhị biến hay không từ tập các số thực dương.
Đáp án
Đối với các số thực dương, hàm số f (x) = x2 đã cho là hàm số vừa cho là hàm số vô vi và hàm số vi phân. Đó là lý do tại sao nó cũng là khách quan.
Nhưng với mọi số thực R, hàm số f (x) = x2 tương tự có các khả năng 2 và -2. Vì vậy f (2) = 4 và f (-2) = 4, không thỏa mãn tính chất của bijective. Đó là lý do tại sao chúng ta có thể nói rằng đối với tất cả các số thực, hàm đã cho không phải là hàm phân vị.
Ví dụ 4:
Trong ví dụ này, chúng ta phải chứng minh rằng hàm f: {month of a year} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} có phải là một hàm bijective hay không .
Đáp án
Hàm đã cho sẽ là nhị phân nếu chúng ta định nghĩa hàm là f (M) = số ‘n’ sao cho M được dùng để xác định tháng thứ n.
Xem thêm Thành phần của các Function
Ứng dụng của Bijective Function trong toán rời rạc
Bijective Function, còn được gọi là một ánh xạ một một và vào một, là một khái niệm quan trọng trong toán rời rạc. Nó có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực này, bao gồm:
- Mã hóa và giải mã thông tin: Bijective Function được sử dụng trong mã hóa và giải mã thông tin. Khi một hệ thống mã hóa sử dụng một ánh xạ một một và vào một, nó đảm bảo tính duy nhất và khả năng phục hồi thông tin ban đầu từ thông tin mã hóa.
- Bảo mật và mã hóa dữ liệu: Bijective Function có vai trò quan trọng trong lĩnh vực bảo mật và mã hóa dữ liệu. Chẳng hạn, trong mật mã học, bijective function được sử dụng để tạo ra các khóa mã hóa mạnh và đảm bảo tính bảo mật của hệ thống mã hóa.
- Xử lý dữ liệu và cơ sở dữ liệu: Trong lĩnh vực xử lý dữ liệu và cơ sở dữ liệu, Bijective Function được sử dụng để thiết kế và tối ưu hóa cấu trúc dữ liệu. Ví dụ, khi thiết kế một hệ thống cơ sở dữ liệu, Bijective Function giúp đảm bảo tính duy nhất và khả năng truy xuất dữ liệu nhanh chóng.
- Xử lý hình ảnh và âm thanh: Trong lĩnh vực xử lý hình ảnh và âm thanh, Bijective Function được sử dụng để thực hiện các phép biến đổi và mã hóa. Ví dụ, trong nén hình ảnh, các bijective function có thể được sử dụng để giảm kích thước tệp hình ảnh mà vẫn duy trì chất lượng hình ảnh.
- Tính toán số học và hệ thống mật mã: Trong lĩnh vực tính toán số học và hệ thống mật mã, Bijective Function có vai trò quan trọng trong việc xác định tính chính xác và bảo mật của các thuật toán và hệ thống mã hóa.
Bijective Function là một công cụ mạnh mẽ trong toán rời rạc và có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như mã hóa, bảo mật, xử lý dữ liệu và hình ảnh.
Xem thêm Normal SubGroup
