Định lý giá trị trung bình của Lagrange còn được gọi là định lý giá trị trung bình hoặc MVT hoặc LMVT. Nó nói rằng nếu một hàm f (x) liên tục trong khoảng đóng [a, b] trong đó (a≤x ≤b) và phân biệt trong khoảng mở [a, b] trong đó (a <x <b), thì có ít nhất một điểm x = c trên khoảng này, được cho là
f (b) – f (a) = f ‘(c) (b-a)
Định lý trên được gọi là định lý giá trị trung bình bậc nhất. Nó cho phép biểu diễn số gia của một hàm trong khoảng thời gian nhất định thông qua giá trị đạo hàm tại một điểm trung gian của đoạn.
Các bài viết liên quan:
Chứng minh định lý giá trị trung bình của Lagrange
Hãy xem xét chức năng phụ trợ được đưa ra bên dưới
F (x) = f (x) +? X
Ở đây, chúng ta sẽ chọn một số? sao cho thỏa mãn điều kiện F (a) = F (b). sau đó
Hàm F (x) liên tục trong khoảng đóng (a≤x ≤b), khả vi trong khoảng mở (a <x <b) và nhận các giá trị bằng nhau tại các điểm cuối của khoảng. Vì vậy, nó thỏa mãn tất cả các điều kiện của định lý Rolle. Khi đó, tồn tại một điểm c trong khoảng (a, b) đã cho là
F ‘(c) = 0.
Nó theo sau đó
Hãy hiểu khái niệm này với sự trợ giúp của một ví dụ
Ví dụ 1:
Kiểm chứng định lý giá trị trung bình cho f (x) = x2 trong khoảng [4,6]
Giải pháp: Ở đây, trước hết bạn cần kiểm tra xem hàm có liên tục hay không trong khoảng đóng đã cho; trong trường hợp của chúng tôi, nó là liên tục. Sau đó, bạn cần kiểm tra hàm có phân biệt được hay không trong khoảng mở (4,6); trong trường hợp của chúng tôi, nó có thể phân biệt được.
F ‘(x) = 2x
f (4) = 8
và f (6) = 36
Định lý giá trị trung bình phát biểu rằng có một điểm c ε (4,6) sao cho
f ‘(c) = 14.
Nhưng,
f ‘(x) = 2x
điều này ngụ ý rằng c = 7. Do đó tại c = 7 ε (4,6), chúng ta có
f ‘(c) = 14
Giải thích hình học
Ý nghĩa hình học của định lý giá trị trung bình của Lagrange phát biểu rằng khi hợp âm đi qua các điểm của đồ thị tương ứng với hai đầu của đoạn a và b có hệ số góc bằng
thì có một điểm x = c nằm trong khoảng [a, b] mà tiếp tuyến của đồ thị song song với dây cung.
Giải thích vật lý
Định lý giá trị trung bình của Lagrange có một cách giải thích vật lý rất rõ ràng. Hãy coi rằng f (p) biểu diễn vị trí của một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng, phụ thuộc vào thời gian p. Tỉ số của
là vận tốc trung bình của vật thể trong khoảng thời gian b – a. Vì f ‘(p) là vận tốc tức thời, định lý này có nghĩa là tồn tại một thời điểm c, trong đó tốc độ tức thời bằng tốc độ trung bình.
Định lý giá trị trung bình của Lagrange có ứng dụng rộng rãi trong phân tích toán học, toán học tính toán và các lĩnh vực khác. Chúng ta hãy xem xét hai kết quả khác nhau.
Đầu ra 1
Trong một trường hợp cụ thể khi các giá trị của hàm f (x) tại các điểm cuối của đoạn [a, b] bằng nhau mà f (a) = f (b), thì định lý giá trị trung bình ngụ ý rằng có một điểm c ε (a, b) sao cho f ‘(c) – Định lý giá trị trung bình của Lagrange = 0
Ta nhận được định lý Rolle, đây có thể coi là một trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình của Lagrange.
Đầu ra 2
Nếu đạo hàm f ‘(x) vô nghiệm tại mọi điểm trong khoảng [a, b] thì hàm số f (x) không đổi trên khoảng này. Không còn nghi ngờ gì nữa, với hai điểm p1 và p2 bất kỳ trong khoảng [a, b], tồn tại một điểm c ε (a, b), sao cho
f (p2) – f (p1) = f ‘(c) (p2 – p1) = 0. (x2-x1) = 0
Do đó
F (p1) = f (p2)
Các câu hỏi dựa trên định lý giá trị trung bình của Lagrange
Ví dụ 1:
Một nhiệt kế được lấy từ ngăn đá sâu và đặt trong nước nóng. Phải mất 30 giây để nhiệt kế tăng từ -5 độ C lên 100 độ C. Tìm tốc độ thay đổi nhiệt độ trung bình.
Đáp án:
Được cho;
T (t1) = -5
T (t2) = 100
Và t2 – t1 = 30 0C
Như chúng ta biết,
Tốc độ thay đổi nhiệt độ trung bình Định lý giá trị trung bình của Lagrange được mô tả bằng vế phải của công thức được đưa ra bởi định lý giá trị trung bình của Lagrange.
Ví dụ 2:
Kiểm tra tính hợp lệ của định lý giá trị trung bình của Lagrange cho hàm
f (x) = (x2 – 2x + 3)
trên khoảng [1, 2]. Nếu định lý đúng, hãy xác định một điểm x thỏa mãn các điều kiện của định lý.
Đáp án:
Phương trình bậc hai đã cho là liên tục và phân biệt được trên toàn bộ tập các số thực. Do đó, chúng ta có thể áp dụng định lý giá trị trung bình của Lagrange trong phương trình đã cho. Đạo hàm của hàm số có dạng
F ‘(x) = (x2 – 2x + 3) = 2x – 2
Xác định tọa độ của điểm c:
Bạn có thể thấy rằng điểm c = 2,3 nằm trong khoảng (1,2)
Ví dụ 3:
Vị trí của vật được cho bởi hàm s (t) = t2 + 5t – 6. Xác định thời điểm t = c trong khoảng thời gian 0 ≤t ≤6 khi vận tốc tức thời của vật bằng vận tốc trung bình của nó trong khoảng thời gian này.
Đáp án:
Hàm s (t) đã cho thỏa mãn nguyên tắc định lý giá trị trung bình, vì vậy chúng ta có thể viết
Với ,
s = 0 và b = 6
lấy đạo hàm:
s ‘(x) = (t2 + 5t -6)’ = 2t + 5
thay vào phương trình này, chúng ta nhận được,
