Nhóm abelian là một loại nhóm trong đó các phần tử luôn chứa giao hoán. Đối với điều này, luật nhóm o phải chứa mối quan hệ sau:
x∘y = x∘y với bất kỳ x, y nào trong nhóm
So với nhóm không abel, nhóm abel được phân tích đơn giản hơn. Khi nhóm là abelian, nhiều nhóm quan tâm có thể được đơn giản hóa thành các trường hợp đặc biệt. Ví dụ, nhóm abelian chứa các lớp liên hợp, có các bộ singleton và được sử dụng để chứa một phần tử. Nhóm Abelian có nhiều phân nhóm là bình thường. Nó chứa một tập hợp G được kết hợp với phép toán nhị phân o. Ở đây, o được sử dụng để lấy hai phần tử của G và trả về một phần tử của G. Mối quan hệ của điều này được mô tả như sau:
o: G × G → G
Các bài viết liên quan:
Thuộc tính của Nhóm Abelian:
Nhóm abelian có một số thuộc tính, được mô tả như sau:
Tính liên kết: Giả sử tập G chứa một phép toán nhị phân o. Phép toán o được gọi là kết hợp trong G nếu nó giữ mối quan hệ sau:
(x o y) o z = x o (y o z) với mọi x, y, z trong G
Đồng nhất: Giả sử chúng ta có một hệ đại số (G, o) và tập G chứa một phần tử e. Phần tử đó sẽ được gọi là phần tử nhận dạng của tập hợp nếu nó chứa mối quan hệ sau:
GÎx o e = e o x = x với mọi x
Ở đây, phần tử e có thể được coi là một phần tử đồng nhất của G, và chúng ta cũng có thể thấy rằng nó nhất thiết phải là duy nhất.
Nghịch đảo: Giả sử có một hệ đại số (G, o), và nó chứa một đồng nhất e. Chúng ta cũng sẽ giả sử rằng tập G chứa một phần tử x và y. Phần tử y sẽ được gọi là nghịch đảo của x nếu nó thỏa mãn quan hệ sau:
x o y = y o x = e
Ở đây, phần tử y cũng có thể được coi là nghịch đảo của x, và chúng ta cũng có thể thấy rằng nó nhất thiết phải là duy nhất. Nghịch đảo của x cũng có thể được gọi là x-1.
Đóng: Giả sử có một tập hợp G, chứa các phần tử, x, y. Hoạt động sẽ được gọi là bao đóng trong G nếu tập hợp chứa mối quan hệ sau:
(x, y) ∈ G ⇒ (x o y) ∈ G
Giao hoán: Giả sử tập G chứa một phép toán nhị phân o. Phép toán o được gọi là giao hoán trong G nếu nó giữ mối quan hệ sau:
x o y = y o x với mọi x, y
Chúng ta có thể xác định nhóm bằng cách sử dụng bốn điều kiện ở trên là liên kết, đồng nhất, nghịch đảo và đóng. Sự phân biệt giữa nhóm không abel và nhóm abel được thể hiện bằng điều kiện cuối cùng là giao hoán.
Ví dụ về nhóm Abelian
Các nhóm tuần hoàn được biết đến là ví dụ tốt nhất và đơn giản nhất về nhóm abel. Chúng ta có thể sử dụng một nguyên tố duy nhất để tạo ra nhóm tuần hoàn và nó là đồng phân với Zn, có thể được định nghĩa như sau:
Zn, tập hợp các số nguyên {0, 1, 2, 3,… .., n-1}, với phép toán nhóm của môđun bổ sung n.
Phần tử của nhóm chứa chu kỳ được tạo ra bởi ứng dụng liên tiếp của định luật nhóm đối với máy phát điện. Ví dụ: công suất của bộ tạo g của Z5 có thể được mô tả là g0, g1, g2, g3, g4, g5 = g0, g1, g2, g3, g4,… và nó có thể làm cho các phần tử {g0, g1, g2, g3, g4}. Vì ga gb = gb ga = ga + b. Tất cả các nhóm này là nhóm abelian.
Chúng ta có thể nói rằng tất cả các nhóm abel không theo chu kỳ, nhưng tất cả các nhóm tuần hoàn đều là abel. Ví dụ, Z2 × Z2, cho thấy bốn nhóm Klein không phải là chu kỳ mà là abel. Ngược lại với luật trên, nhóm abel sẽ không tạo bởi nhóm ma trận khả nghịch với luật nhóm nhân ma trận. Đó là bởi vì đối với ma trận M và N, MN = NM là không đúng. Nếu n> = 3 trong nhóm ký hiệu Sn, nhóm này cũng sẽ không abelian.
Ví dụ về nhóm abelian cũng có thể được mô tả bằng các vòng với các phép toán cộng của chúng. Các đơn vị của vòng có thể sử dụng phép toán nhân của chúng và tạo thành một nhóm abel. Ví dụ: nhóm abelian cộng có thể được tạo thành bởi số thực và nhóm abel nhân có thể được tạo bởi các số thực khác không, được ký hiệu là R *
Công dụng Nhóm Abelian
Nhóm abelian được sử dụng để tạo thành nhiều thuộc tính nhóm trong những trường hợp đặc biệt. Ví dụ, chúng ta đã đề cập rằng các lớp liên hợp là các tập đơn. Tương tự,
Trung tâm của nhóm cũng giống như chính nó. Có một trường hợp khác mà trò chuyện cũng đúng, có nghĩa là nhóm sẽ là abelian nếu center của nhóm giống với chính nhóm đó.
Hai phần tử của dấu phẩy (g-1 h-1 gh) hiển thị danh tính trong một nhóm abel.
Nhóm Abelian có nhóm con dẫn xuất, là nhóm nhỏ.
Một loạt các đại số cũng được hình thành bởi nhóm abel. Điều đó có nghĩa là:
- Nhóm Abelian có các phân nhóm cũng là abelian.
- Nhóm Abel có các nhóm thương cũng là abelian.
- Nhóm hai abel có sản phẩm trực tiếp cũng là abelian.
Cuối cùng, chúng tôi sẽ mô tả luật nhóm trong đó tập hợp của phép đồng cấu tạo thành một nhóm abelian khác từ nhóm abelian này sang nhóm abelian khác. Cú pháp của luật nhóm được mô tả như sau:
(f + g) (x) = f (x) + g (x) ∀f, g: G → H
Phân loại nhóm Abelian
Trên cơ sở thứ tự, một nhóm abelian sẽ được phân loại. Thứ tự của một nhóm sẽ được tính bằng số phần tử trong một nhóm. Một nhóm G sẽ được biết là nhóm hữu hạn nếu bậc của một nhóm là hữu hạn. Bây giờ chúng ta sẽ mô tả định lý phân rã Kronecker. Theo định lý này, chúng ta có thể viết nhóm abelian bậc n dưới dạng sau:
Zk1⊕Zk2⊕… ⊕Zkm,
Trong đó ki được sử dụng để thể hiện các lũy thừa của số nguyên tố và ki được nhân với n. Loại biểu diễn này là duy nhất.
Ví dụ:
Nếu chúng ta muốn viết thứ tự 15 trong nhóm abelian, nó sẽ được viết là Z3⊕Z5. Nó được sử dụng để ngụ ý rằng theo thứ tự 15, tất cả các nhóm abel là đồng cấu. Chúng tôi cũng sẽ hiển thị một ví dụ rõ ràng là {0,5,10} ⊕ {0,3,6,9,12}. Chúng tôi cũng có thêm hai trường hợp đặc biệt khác, được mô tả như sau:
Nếu một nhóm chứa một bậc p, nhóm này sẽ là đẳng cấu với Zp và nhất thiết phải là abel. Nó cũng có tính chu kỳ.
Nếu một nhóm chứa thứ tự p2, thì nhóm này nhất thiết sẽ là abelian và nó cũng đẳng cấu với Zp2 hoặc Zp × Zp.
Theo định lý phân rã Kronecker ở trên, người ta mô tả rằng số nhóm abelian không đẳng cấu bậc (n) có quan hệ sau: n = ∏ipiei và
a (n) = ∏iP (ei),
Đây,
a (n) được sử dụng để mô tả số phân hoạch của n, hoặc chúng ta có thể nói rằng a (n) là tích của một số phân hoạch của mỗi số mũ trong thừa số nguyên tố của n.
