Cấu trúc đại số là một loại tập không rỗng G được trang bị một hoặc nhiều hơn một phép toán nhị phân. Giả sử rằng * mô tả phép toán nhị phân trên tập khác rỗng G. Trong trường hợp này, (G, *) sẽ được gọi là cấu trúc đại số. (1, -), (1, +), (N, *) đều là cấu trúc đại số.
Các bài viết liên quan:
(R, +,.) Là một loại cấu trúc đại số, được trang bị hai phép toán (+ và.)
Toán tử nhị phân của tập hợp
Trong phép toán nhị phân, nhị phân là viết tắt của hai. Toán tử nhị phân là một loại Toán tử cần hai đầu vào, được gọi là các toán hạng. Khi chúng ta thực hiện các phép tính nhân, chia, cộng, trừ trên hai số thì chúng ta sẽ nhận được một số. Hai phần tử của một tập hợp được liên kết với các phép toán nhị phân. Kết quả của hai phần tử này cũng sẽ nằm trong cùng một tập hợp. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng nếu chúng ta thực hiện một phép toán nhị phân trên một tập hợp, thì nó sẽ thực hiện các phép tính kết hợp hai phần tử của tập hợp và tạo ra một phần tử khác thuộc cùng một tập hợp.
Giả sử rằng có một tập khác rỗng gọi là G. Một hàm f từ G × G đến G được gọi là phép toán nhị phân trên G. Vậy f: G × G → G xác định một phép toán nhị phân trên G.
Ví dụ về Toán tử nhị phân
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ lấy hai số tự nhiên hoặc hai số thực và thực hiện các phép toán nhị phân như cộng, nhân, trừ và chia trên các số này. Phép toán đại số trên hai số tự nhiên hoặc số thực sẽ tạo ra một kết quả. Nếu chúng ta nhận được kết quả là một số tự nhiên hoặc số thực, thì chúng ta sẽ xem xét phép toán nhị phân đó trong tập hợp của chúng ta.
Phép cộng:
Chúng ta sẽ tìm hiểu về phép cộng, là một phép toán nhị phân. Giả sử chúng ta có hai số tự nhiên (a, b). Bây giờ nếu chúng ta thêm các số này, thì kết quả là nó sẽ tạo ra một số tự nhiên. Ví dụ: Giả sử có 6 và 8 là hai số tự nhiên và phép cộng các số này là
6 + 8 = 14
Do đó, kết quả 14 cũng là một số tự nhiên. Vì vậy, chúng tôi sẽ xem xét một bổ sung trong tập hợp của chúng tôi. Quá trình tương tự cũng sẽ được thực hiện đối với các số thực.
+: N + N → N được suy ra bởi (a, b) → a + b
+: R + R → R được suy ra bởi (a, b) → a + b
Phép nhân:
Bây giờ chúng ta sẽ học phép nhân, là một phép toán nhị phân. Nếu chúng ta nhân hai số tự nhiên (a, b), thì nó sẽ tạo ra một số tự nhiên. Ví dụ: Giả sử có 10 và 5 là hai số tự nhiên và phép nhân các số này là:
10 * 5 = 50
Do đó, kết quả 50 cũng là một số tự nhiên. Vì vậy, chúng tôi sẽ xem xét phép nhân trong tập hợp của chúng tôi. Quá trình tương tự cũng sẽ được thực hiện đối với các số thực.
+: N × N → N được suy ra bởi (a, b) → a × b
+: R × R → R được suy ra bởi (a, b) → a × b
Phép trừ:
Bây giờ chúng ta sẽ học phép trừ, là một phép toán nhị phân. Nếu chúng ta trừ hai số thực (a, b), thì kết quả là nó cũng sẽ tạo ra một số thực. Quá trình tương tự sẽ không được tuân theo đối với các số tự nhiên, bởi vì nếu chúng ta lấy hai số tự nhiên để thực hiện phép trừ nhị phân, thì không bắt buộc nó sẽ tạo ra một số tự nhiên. Ví dụ: Giả sử chúng ta lấy hai số tự nhiên 5 và 7 và phép trừ các số này là
5 – 7 = -2
Do đó, kết quả không phải là một số tự nhiên. Vì vậy, chúng tôi sẽ không xem xét phép trừ trong tập hợp của chúng tôi.
-: R x R → R được suy ra bởi (a, b) → a – b
Phép chia
Bây giờ chúng ta sẽ học phép chia, là một phép toán nhị phân. Nếu chúng ta chia hai số thực (a, b), thì kết quả là nó cũng sẽ tạo ra một số thực. Quá trình tương tự sẽ không được tuân theo đối với các số tự nhiên, bởi vì nếu chúng ta lấy hai số tự nhiên để thực hiện phép chia nhị phân, thì không bắt buộc nó sẽ tạo ra một số tự nhiên. Ví dụ: Giả sử ta lấy hai số tự nhiên 10 và 6 và phép chia của các số này là
10/6 = 5/3
Do đó, kết quả 5/3 không phải là số tự nhiên. Vì vậy, chúng tôi sẽ không xem xét sự phân chia trong tập hợp của chúng tôi.
-: R – R → R được suy ra bởi (x, y) → x – y
Tính chất của cấu trúc đại số
Giao hoán: Giả sử tập G chứa một phép toán nhị phân *. Phép toán * được gọi là có tính chất giao hoán trong G nếu nó có quan hệ sau:
x * y = y * x với mọi x, y trong G
Liên kết: Giả sử tập hợp G chứa một phép toán nhị phân *. Phép toán * được gọi là liên kết trong G nếu nó giữ mối quan hệ sau:
(x * y) * z = x * (y * z) với mọi x, y, z trong G
Đồng nhất: Giả sử chúng ta có một hệ đại số (G, *) và tập G chứa một phần tử e. Phần tử đó sẽ được gọi là phần tử nhận dạng của tập hợp nếu nó chứa mối quan hệ sau:
x * e = e * x = x với mọi x
Ở đây, phần tử e có thể được coi là một phần tử đồng nhất của G, và chúng ta cũng có thể thấy rằng nó nhất thiết phải là duy nhất.
Nghịch đảo: Giả sử có một hệ đại số (G, *) và nó chứa một đồng nhất e. Chúng ta cũng sẽ giả sử rằng tập hợp G chứa các phần tử x và y. Phần tử y sẽ được gọi là nghịch đảo của x nếu nó thỏa mãn quan hệ sau:
x * y = y * x = e
Ở đây, phần tử x cũng có thể được coi là nghịch đảo của y và chúng ta cũng có thể thấy rằng nó nhất thiết phải là đơn nguyên
e. Nghịch đảo của x cũng có thể được gọi là x-1 như sau:
x * x-1 = x-1 * x = e
Luật Hủy: Giả sử tập G chứa một phép toán nhị phân *. Phép toán * được gọi là luật hủy bỏ bên trái trong G nếu nó giữ mối quan hệ sau:
x * y = x * z ngụ ý y = z
Nó sẽ được gọi là luật hủy bỏ quyền nếu nó giữ mối quan hệ sau:
y * x = z * x ngụ ý y = z
Các dạng cấu trúc đại số
Có nhiều loại cấu trúc đại số khác nhau, được mô tả như sau:
- Semigroup
- Monoid
- Group
- Abelian Group
Tất cả các cấu trúc đại số này có ứng dụng rộng rãi đặc biệt là mã hóa nhị phân và trong nhiều lĩnh vực khác.
Semigroup
Giả sử có một cấu trúc đại số (G, *), sẽ được gọi là semigroup nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
Đóng: Phép toán * là một phép toán đóng trên G có nghĩa là (a * b) thuộc tập G với mọi a, b ∈
Phép toán liên kết: Phép toán * hiển thị phép toán liên kết giữa a, b và c có nghĩa là a * (b * c) = (a * b) * c với mọi a, b, c trong G.
Lưu ý: Một cấu trúc đại số luôn được hiển thị bởi semigroup.
Ví dụ 1:
Các ví dụ về semigroup là (Ma trận, *) và (Tập hợp các số nguyên, +).
Ví dụ 2:
Semigroup chứa một tập hợp các số nguyên dương với một phép toán bổ sung hoặc phép nhân. Các số nguyên dương sẽ không chứa số không. Ví dụ: Giả sử chúng ta có một tập hợp G, chứa một số số nguyên dương ngoại trừ số 0 như 1, 2, 3, v.v. như thế này:
G = {1, 2, 3, 4, 5,… ..}
Tập hợp này chứa thuộc tính bao đóng vì theo thuộc tính bao đóng (a * b) thuộc về G với mọi phần tử a, b. Vì vậy, trong tập hợp này, (1 * 2) = 2 ∈
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính kết hợp vì theo thuộc tính kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) thuộc về G với mọi phần tử a, b, c. Vì vậy, trong tập hợp này, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 ∈
Monoid
Một monoid là một semigroup, nhưng nó chứa thêm một phần tử nhận dạng (E hoặc e). Một cấu trúc đại số (G, *) sẽ được gọi là một đơn thức nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
Đóng: G được đóng trong phép toán * có nghĩa là (a * b) thuộc tập G với mọi a, b ∈
Liên kết: Phép toán * hiển thị một phép toán kết hợp giữa a, b và c có nghĩa là a * (b * c) = (a * b) * c với mọi a, b, c trong G.
Phần tử nhận dạng: Phải có một danh tính trong tập G có nghĩa là a * e = e * a = a với mọi x.
Lưu ý: Một cấu trúc đại số và một nửa hàm luôn được hiển thị bằng một đơn thức.
Ví dụ 1:
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ lấy (Tập hợp các số nguyên, *), (Tập hợp các số tự nhiên, +) và (Tập hợp các số nguyên, +). Ở đâu
Monoid được hiển thị bằng (Tập hợp các số nguyên, *) vì 1 là một số nguyên và nó cũng là một phần tử nhận dạng.
Monoid không được hiển thị bằng (Tập hợp các số tự nhiên, +) vì không có phần tử nhận dạng, nhưng nó là một nhóm bán nghĩa.
Monoid được hiển thị bằng (Tập hợp các số nguyên, +) vì nó chứa 0 làm phần tử nhận dạng.
Ví dụ 2:
Đơn thức chứa một tập hợp các số nguyên dương với các phép toán bổ sung hoặc nhân trừ số không. Ví dụ: Giả sử chúng ta có một tập hợp G, chứa một số số nguyên dương như 1, 2, 3, v.v. như thế này:
G = {1, 2, 3, 4, 5,… ..}
Tập hợp này chứa thuộc tính bao đóng vì theo thuộc tính bao đóng (a * b) thuộc về G với mọi phần tử a, b. Vì vậy, trong tập hợp này, (1 * 2) = 2, v.v.
Tập hợp này chứa thuộc tính kết hợp vì theo thuộc tính kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) thuộc về G với mọi phần tử a, b, c. Vì vậy, trong tập hợp này, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 5, v.v.
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính đồng nhất vì theo thuộc tính này a * e = e * a = a, trong đó a ∈ Vậy trong tập này, (2 × 1) = 2, (3 × 1) = 3, v.v. Trong trường hợp của chúng tôi, 1 là yếu tố nhận dạng.
Group
Một Nhóm là một đơn thức, nhưng nó chứa thêm một phần tử nghịch đảo, được ký hiệu là 1. Một cấu trúc đại số (G, *) sẽ được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
Đóng: G được đóng trong phép toán * có nghĩa là (a * b) thuộc tập G với mọi a, b ∈
Liên kết: * hiển thị phép toán liên kết giữa a, b và c có nghĩa là a * (b * c) = (a * b) * c với mọi a, b, c trong G.
Phần tử nhận dạng: Phải có một danh tính trong tập G có nghĩa là a * e = e * a = a với mọi a.
Phần tử nghịch đảo: Nó chứa phần tử nghịch đảo có nghĩa là a * a-1 = a-1 * a = e với a ∈
Lưu ý: Một cấu trúc đại số, semigroup và monoid luôn được hiển thị bởi một Group.
Ví dụ 1:
Các ví dụ về nhóm là phép nhân ma trận và (Z, +).
Ví dụ 2:
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ sử dụng phép toán nhân ma trận trên tập các ma trận không số ít N × N từ một nhóm.
Nếu chúng ta thực hiện phép nhân các ma trận không kỳ dị N × N, thì nó cũng sẽ là một ma trận không kỳ dị N × N, giữ thuộc tính của bao đóng.
Phép nhân ma trận tự nó giữ thuộc tính liên kết. Vì vậy, nó cũng có tính liên kết.
Ma trận nhận dạng được chứa trong tập các ma trận không số ít N × N, chứa thuộc tính của phần tử nhận dạng.
Như chúng ta đã thấy rằng tất cả các ma trận đều không phải là số ít. Vì vậy, chúng sẽ chứa các phần tử nghịch đảo, cũng sẽ là các phần tử không số ít
băng giá. Do đó, nó cũng có thuộc tính nghịch đảo.
Abelian Group
Nhóm abelian là một nhóm, nhưng nó chứa luật giao hoán. Một cấu trúc đại số (G, *) sẽ được gọi là một nhóm abel nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
- Đóng: G được đóng trong phép toán * có nghĩa là (a * b) thuộc tập G với mọi a, b ∈
- Liên kết: * hiển thị phép toán liên kết giữa a, b và c có nghĩa là a * (b * c) = (a * b) * c với mọi a, b, c trong G.
- Phần tử nhận dạng: Phải có một danh tính trong tập G có nghĩa là a * e = e * a = a với mọi a.
- Phần tử nghịch đảo: Nó chứa phần tử nghịch đảo có nghĩa là a * a-1 = a-1 * a = e với a ∈
- Luật giao hoán: Sẽ có luật giao hoán sao cho a * b = b * a sao cho a, b thuộc G.
Lưu ý: (Z, +) là một nhóm Abel vì nó có tính chất giao hoán, nhưng phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán, đó là lý do tại sao nó không phải là một nhóm abel.
Ví dụ: Giả sử chúng ta có một tập hợp G, chứa một số số nguyên dương ngoại trừ số 0 như 1, 2, 3, v.v. với các phép toán bổ sung như sau:
G = {1, 2, 3, 4, 5,… ..}
Tập hợp này chứa thuộc tính bao đóng vì theo thuộc tính bao đóng (a + b) thuộc về G với mọi phần tử a, b. Vì vậy, trong tập này, (1 + 2) = 2 ∈ G, v.v.
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính kết hợp vì theo thuộc tính kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) thuộc về G với mọi phần tử a, b, c. Vì vậy, trong tập này, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 ∈ G, v.v.
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính đồng nhất vì theo thuộc tính này (a * e) = a, trong đó a ∈ Vậy trong tập này, (2 × 1) = 2, (3 × 1) = 3, v.v. Trong trường hợp của chúng tôi, 1 là yếu tố nhận dạng.
Tập hợp này cũng chứa thuộc tính giao hoán vì theo tính chất này (a * b) = (b * a), trong đó a, b ∈ Vì vậy, trong tập này, (2 × 3) = (3 × 2) = 6, v.v. .
