Thuật toán Kannan (hay còn gọi là thuật toán lồi nhỏ) là một thuật toán tìm kiếm điểm lồi trong một tập hợp đa diện bao gồm các điểm trong không gian Euclid n chiều. Thuật toán này được đặt tên theo tên của nhà toán học và nhà khoa học máy tính người Ấn Độ V. Kannan.
Thuật toán Kannan sử dụng phương pháp “chia để trị” để tìm kiếm điểm lồi. Cụ thể, thuật toán chia không gian thành các nửa không gian nhỏ hơn và tiếp tục chia đến khi chỉ còn một điểm trong không gian. Sau đó, thuật toán sử dụng một kỹ thuật gọi là “kiểm tra trực giao” để xác định xem điểm đó có phải là điểm lồi hay không. Nếu là điểm lồi, thuật toán sẽ trả về điểm đó; nếu không, thuật toán sẽ tiếp tục tìm kiếm trên nửa không gian khác.
Thuật toán Kannan là một trong những thuật toán tìm kiếm điểm lồi đơn giản và hiệu quả, tuy nhiên, nó chỉ đảm bảo tìm được điểm lồi trong một tập hợp đa diện lồi, không áp dụng được cho các tập hợp đa diện không lồi.
Thuật toán Kannan có sử dụng để giải SVP
Có, thuật toán Kannan cũng có thể được sử dụng để giải bài toán tìm ngắn nhất vector đầu tiên (SVP – Shortest Vector Problem) trong hệ thống mã hóa dựa trên lưới (lattice-based cryptography).
Cụ thể, SVP là bài toán tìm một vector có độ dài nhỏ nhất trong một lưới đa diện (lattice) trong không gian Euclid n chiều. Thuật toán Kannan có thể được sử dụng để giải bài toán này bằng cách chuyển đổi SVP thành bài toán tìm kiếm điểm lồi, trong đó điểm lồi tương ứng với vector ngắn nhất trong lưới. Sau đó, thuật toán Kannan được áp dụng để tìm kiếm điểm lồi, từ đó tìm ra vector ngắn nhất trong lưới.
Tuy nhiên, thuật toán Kannan không phải là thuật toán tối ưu để giải bài toán SVP, và có thể bị đánh bại bởi các thuật toán mới hơn như thuật toán LLL (Lenstra-Lenstra-Lovasz) hoặc thuật toán BKZ (Block Korkin-Zolotarev).
Cách sử dụng Thuật toán Kannan giải SVP
Để sử dụng thuật toán Kannan giải bài toán tìm ngắn nhất vector đầu tiên (SVP) trong hệ thống mã hóa dựa trên lưới (lattice-based cryptography), ta có thể làm như sau:
Bước 1: Cho trước một lưới đa diện với các vector cơ sở của lưới được biểu diễn dưới dạng ma trận A, và tìm ma trận Gram của lưới bằng cách tính tích vô hướng của các vector cơ sở của lưới với nhau.
Bước 2: Áp dụng thuật toán Kannan để tìm kiếm điểm lồi của lưới. Thuật toán chia không gian thành các nửa không gian nhỏ hơn và kiểm tra xem điểm giữa của nửa không gian có phải là điểm lồi hay không. Nếu là điểm lồi, thuật toán trả về điểm đó và kết thúc; nếu không, thuật toán tiếp tục tìm kiếm trên nửa không gian khác.
Bước 3: Nếu điểm lồi được tìm thấy, ta tính toán độ dài của vector tương ứng với điểm đó. Vector này là vector ngắn nhất trong lưới và là giải pháp của bài toán SVP.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng thuật toán Kannan không phải là thuật toán tối ưu để giải bài toán SVP và có thể bị đánh bại bởi các thuật toán mới hơn như thuật toán LLL (Lenstra-Lenstra-Lovasz) hoặc thuật toán BKZ (Block Korkin-Zolotarev).
Ví dụ về thuật toán Thuật toán Kannan
Đây là một ví dụ về việc sử dụng thuật toán Kannan để giải bài toán SVP trên một lưới đơn giản:
Giả sử ta có một lưới đa diện 2 chiều với các vector cơ sở được biểu diễn bởi ma trận sau đây:
A = [1 0]
[2 1]Ta tính ma trận Gram của lưới bằng cách tính tích vô hướng của các vector cơ sở của lưới với nhau:
G = A^T * A = [5 2]
[2 1]Tiếp theo, ta áp dụng thuật toán Kannan để tìm kiếm điểm lồi của lưới. Ta bắt đầu bằng cách chia không gian thành 4 nửa không gian nhỏ hơn và kiểm tra xem điểm giữa của mỗi nửa không gian có phải là điểm lồi hay không. Điểm lồi đầu tiên được tìm thấy là điểm (1, 0) trong nửa không gian đầu tiên.
Tiếp theo, ta tính toán độ dài của vector tương ứng với điểm lồi này bằng cách tính căn bậc hai của giá trị đường chéo chính của ma trận Gram trên nửa không gian đó:
sqrt(G[0][0]) = sqrt(5) ≈ 2.24
Vector (1, 0) là vector ngắn nhất trong lưới và là giải pháp của bài toán SVP.
Lưu ý rằng đây là một ví dụ đơn giản chỉ để minh họa cách sử dụng thuật toán Kannan để giải bài toán SVP trên một lưới đơn giản. Trong thực tế, các lưới thường có số chiều lớn hơn và các thuật toán khác như thuật toán LLL hoặc thuật toán BKZ có thể cần được sử dụng để giải quyết các bài toán SVP phức tạp hơn.
