Nếu một tập con khác rỗng H của nhóm G chính nó là một nhóm dưới phép toán của G, ta nói H là một Subgroup của G.
Định lý: – Tập con H của nhóm G là Subgroup của G nếu:
- phần tử đơn vị a∈ H.
- H đóng dưới phép toán của G tức là nếu a, b∈ H, thì a, b∈ H và
- H là đóng dưới các nghịch đảo, nghĩa là nếu a∈ H thì a-1∈ H.
Các bài viết liên quan:
Cyclic Subgroup
Subgroup K của nhóm G được cho là Subgroup cyclic nếu tồn tại một phần tử x∈ G sao cho mọi phần tử của K đều có thể viết dưới dạng xn với n ∈Z nào đó.
Phần tử x được gọi là bộ tạo của K và chúng ta viết K = <x>
Cyclic Group
Trong trường hợp G =, chúng ta nói G là cyclic và x là sinh của G. Tức là, một nhóm G được cho là cyclic nếu có một phần tử x∈ G sao cho mọi phần tử của G có thể được viết trong tạo thành xn cho một số n∈ Z.
Ví dụ: Nhóm G = {1, -1, i, -i} trong phép nhân thông thường là một nhóm cyclic hữu hạn với i là bộ tạo, vì i1 = i, i2 = -1, i3 = -i và i4 = 1
Nhóm Abelian:
Chúng ta hãy xem xét một hệ đại số (G, *), trong đó * là một phép toán nhị phân trên G. Sau đó, hệ thống (G, *) được cho là một nhóm abel nếu nó thỏa mãn tất cả các thuộc tính của Subgroup với một thuộc tính bổ sung sau. :
(1) Phép toán * có tính chất giao hoán, tức là
a * b = b * a ∀ a, b ∈G
Ví dụ: Hãy xem xét một hệ thống đại số (G, *), trong đó G là tập hợp tất cả các số thực khác 0 và * là một phép toán nhị phân được xác định bởi
Chứng tỏ rằng (G, *) là một nhóm abel.
Chứng minh:
Thuộc tính đóng: Tập hợp G được đóng theo phép toán *, vì a * b = Subgroup là một số thực. Do đó, nó thuộc về G.
Thuộc tính kết hợp: Phép toán * là kết hợp. Cho a, b, c G, khi đó ta có
Identity: Để tìm phần tử đơn vị, chúng ta hãy giả sử rằng e là một + ve số thực. Khi đó e * a = a, trong đó a ∈G.
Do đó, phần tử đơn vị trong G là 4.
Nghịch đảo: giả sử a ∈G. Nếu a-1∈Q, là một nghịch đảo của a, thì a * a-1 = 4
Do đó, nghịch đảo của phần tử a trong G là
Giao hoán: Phép toán * trên G có tính chất giao hoán.
Như vậy, hệ đại số (G, *) là hệ đóng, kết hợp, phần tử đơn vị, nghịch đảo và giao hoán. Do đó, hệ thống (G, *) là một nhóm abel.
Hệ quả của Nhóm:
Định lý: Chứng minh rằng nếu (G1, * 1) và (G2, * 2) là các nhóm thì G = G1 x G2 tức là, (G, *) là một nhóm với phép toán được xác định bởi (a1, b1) * (a2, b2) = (a1, * 1, a2, b1 * 2 b2).
Chứng minh: Để chứng minh rằng G1 x G2 là một nhóm, chúng ta phải chứng minh rằng G1 x G2 có toán tử kết hợp, có một đơn vị và cũng tồn tại nghịch đảo của mọi phần tử.
Tính liên tưởng. Cho a, b, c ∈ G1 x G2, khi đó
Vì vậy, a * (b * c) = (a1, a2) * ((b1, b2) * (c1, c2))
= (a1, a2) * (b1 * 1 c1, b2 * 2 c2)
= (a1 * 1 (b1 * 1 c1), a2 * 2 (b2 * 2 c2)
= ((a1 * 1 b1) * 1 c1, (a2 * 2 b2) * 2 c2)
= (a1 * 1 b1, a2 * 2 b2) * (c1, c2)
= ((a1, a2) * (b1, b2)) * (c1, c2)
= (a * b) * c.
Identity: Gọi e1 và e2 lần lượt là đơn vị của G1 và G2. Khi đó, đồng dạng của G1 x G2 là e = (e1, e2). Giả sử a ∈ G1 x G2
Sau đó, a * e = (a1, a2) * (e1, e2)
= (a1 * 1 e1, a2 * 2 e2)
= (a1, a2) = a
Tương tự, ta có e * a = a.
Nghịch đảo: Để xác định nghịch đảo của một phần tử trong G1 x G2, chúng tôi sẽ xác định thành phần khôn ngoan của nó, tức là
a-1 = (a1, a2) -1 = (a1-1, a2-1)
Bây giờ để xác minh rằng đây là nghịch đảo chính xác, chúng ta sẽ tính a * a-1 và a-1 * a.
Bây giờ, a * a-1 = (a1, a2) * (a1-1, a2-1)
= (a1 * 1 a1-1, a2 * 2 a2-1) = (e1, e2) = e
Tương tự, ta có a-1 * a = e.
Do đó, (G1 x G2, *) là một nhóm.
Nói chung, nếu G1, G2, …. Gn là nhóm thì G = G1 x G2 x ….. x Gn cũng là một nhóm.
Cosets:
Gọi H là một Subgroup của nhóm G. Một tập hợp trái của H trong G là một tập con của G mà các phần tử của nó có thể được biểu diễn dưới dạng xH = {xh | h ∈ H} với bất kỳ x∈ G. Phần tử x được gọi là biểu diễn của coset. Tương tự, coset bên phải của H trong G là một tập con có thể được biểu diễn dưới dạng Hx = {hx | h ∈H}, với x∈G bất kỳ. Do đó phức xH và Hx lần lượt được gọi là coset trái và coset phải.
Nếu phép toán nhóm là phép cộng (+) thì coset bên trái được ký hiệu là x + H = {x + h | h ∈H} và một coset bên phải được ký hiệu là H + x = {h + x | h ∈ H}
