Chúng ta hãy xem xét, một hệ đại số (A, *), trong đó * là một phép toán nhị phân trên A. Khi đó, hệ (A, *) được cho là semiGroup nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
- Phép toán * là một phép toán đóng trên tập A.
- Phép toán * là một phép toán kết hợp.
Ví dụ: Xét một hệ đại số (A, *), trong đó A = {1, 3, 5, 7, 9 ….}, tập hợp các số nguyên dương lẻ và * là một phép toán nhị phân có nghĩa là phép nhân. Xác định xem (A, *) có phải là một semiGroup hay không.
Lời giải: Tính chất đóng: Phép toán * là một phép toán đóng vì phép nhân hai + ve số nguyên lẻ là một + ve số lẻ.
Thuộc tính kết hợp: Phép toán * là một phép toán kết hợp trên tập A. Vì mọi a, b, c ∈ A, ta có
(a * b) * c = a * (b * c)
Do đó, hệ thống đại số (A, *), là một nhóm bán phần.
Các bài viết liên quan:
Subsemigroup
Xét một semigroup (A, *) và cho B ⊆ A. Khi đó hệ thống (B, *) được gọi là nhóm con nếu tập hợp B được đóng theo phép toán *.
Ví dụ: Xét một nửa hàm (N, +), trong đó N là tập hợp tất cả các số tự nhiên và + là một phép toán cộng. Hệ đại số (E, +) là một nhóm con của (N, +), trong đó E là tập các + ve số nguyên chẵn.
Free Semigroup:
Xét một tập khác rỗng A = {a1, a2, ….. an}.
Bây giờ, A * là tập hợp tất cả các dãy hữu hạn các phần tử của A, tức là A * bao gồm tất cả các từ có thể được hình thành từ bảng chữ cái A.
Nếu α, β và, γ là bất kỳ phần tử nào của A * thì α, (β. Γ) = (α.β) .γ.
Ở đây ° là một phép toán nối, là một phép toán kết hợp như được hiển thị ở trên.
Do đó (A *, °) là một semigroup. Semigroup (A *, °) này được gọi là semigroup tự do được tạo bởi tập A.
Ứng dụng Semigroup:
Định lý: Nếu (S1, *) và (S2, *) là các semiGroup thì (S1 x S2 *) là một semiGroup, trong đó * được xác định bởi (s1 ‘, s2’) * (s1 ”, s2 ”) = (s1 ‘* s1’ ‘, s2’ * s2 ”).
Chứng minh: Semigroup S1 x S2 được đóng theo phép toán *.
Tính kết hợp của *. Cho a, b, c ∈ S1 x S2
Vì vậy, a * (b * c) = (a1, a2) * ((b1, b2) * (c1, c2))
= (a1, a2) * (b1 * 1 c1, b2 * 2 c2)
= (a1 * 1 (b1 * 1 c1), a2 * 2 (b2 * 2 c2)
= ((a1 * 1 b1) * 1 * 1, (a2 * 2 b2) * 2 c2)
= (a1 * 1 b1, a2 * 2 b2) * (c1, c2)
= ((a1, a2) * (b1, b2)) * (c1, c2)
= (a * b) * c.
Kể từ khi * là đóng và kết hợp. Do đó, S1 x S2 là một semigroup.
Monoid:
Chúng ta hãy xem xét một hệ đại số (A, o), trong đó o là một phép toán nhị phân trên A. Khi đó hệ (A, o) được cho là một đơn thức nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
- Toán tử o là một toán tử đóng trên tập A.
- Phép toán o là một phép toán kết hợp.
- Tồn tại một yếu tố đơn vị, tức là, toán tử o.
Ví dụ: Xét một hệ đại số (N, +), trong đó tập N = {0, 1, 2, 3, 4 …}. Tập hợp các số tự nhiên và + là một phép cộng. Xác định xem (N, +) có phải là đơn thức không.
Lời giải: (a) Thuộc tính đóng: Phép toán + là đóng vì tổng của hai số tự nhiên.
(b) Thuộc tính kết hợp: Phép toán + là một thuộc tính kết hợp vì chúng ta có (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ N.
(c)Đơn vị: Tồn tại một phần tử nhận dạng trong tập N phép toán +. Phần tử 0 là phần tử nhận dạng, tức là phép toán +. Vì toán tử + là một đóng, kết hợp và tồn tại một danh tính. Do đó, hệ đại số (N, +) là một đơn thức.
SubMonoid
Ta coi một đơn thức (M, o), cũng cho S ⊆M. Khi đó (S, o) được gọi là một submonoid của (M, o), nếu và chỉ khi nó thỏa mãn các tính chất sau:
- S đóng theo phép toán o.
- Tồn tại phần tử identity e ∈ T.
Ví dụ: Chúng ta hãy xem xét, một đơn nguyên (M, *), trong đó * s là một phép toán nhị phân và M là một tập hợp tất cả các số nguyên. Khi đó (M1, *) là một submonoid của (M, *) trong đó M1 được định nghĩa là M1 = {ai│i từ 0 đến n, một số nguyên dương và a∈M}.
