Ring là một kiểu cấu trúc đại số (R, +,.) Hoặc (R, *,.) Được sử dụng để chứa tập không rỗng R. Đôi khi, chúng ta biểu diễn R dưới dạng một vành. Nó thường chứa hai phép toán nhị phân là phép Ring và phép cộng.
Các bài viết liên quan:
Một hệ thống đại số được sử dụng để chứa một tập R không rỗng, phép toán o và các toán tử (+ hoặc *) trên R sao cho:
(R, 0) sẽ là một nhóm bán phần, và (R, *) sẽ là một nhóm đại số.
Hoạt động o sẽ được cho là đổ chuông nếu nó được phân phối trên toán tử *.
Chúng tôi có một số định đề cần được thỏa mãn. Các định đề này được mô tả như sau:
R1
Nhóm đại số được mô tả bởi hệ thống (R, +). Vì vậy, nó chứa một số thuộc tính, được mô tả như sau:
- Closure Property
Trong thuộc tính đóng, tập R sẽ được gọi cho thành phần ‘+’ như sau:
x ∈R, y ∈R => x + y ∈ R với mọi x, y ∈ R
- Association
Trong luật kết hợp, tập hợp R sẽ liên quan đến thành phần ‘+’ như thế này:
(x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ R.
- identity
Ở đây, R được sử dụng để chứa một phần tử Ring dạng phụ gia. Phần tử đó được gọi là phần tử 0 và nó được ký hiệu là 0. Cú pháp để biểu diễn phần tử này được mô tả như sau:
x + y = x = 0 + x, x ∈ R
- inverse
Trong sự tồn tại của nghịch đảo, các phần tử x ∈ R tồn tại với mỗi x ∈ R như sau:
x + (-x) = 0 = (-x) + x
- Giao hoán của phép cộng
Trong luật giao hoán, tập R sẽ đại diện cho thành phần + như thế này:
x + y = y + x với mọi x, y ∈ R
R2
Ở đây, tập hợp R được đóng theo thành phần Ring như thế này:
xy ∈ R
R3
Ở đây, có một sự liên kết của thành phần Ring như thế này:
(x.y) .z = x. (y.z) với mọi x, y, z ∈ R
R4
Có sự phân phối trái và phải của thành phần phép Ring đối với phép cộng, như thế này:
- Luật phân phối
(y + z). x = y.x + z.x
- Luật phân bổ trái
x. (y + z) = x.y + x.z
Các loại Ring
Có nhiều loại Ring khác nhau, được mô tả như sau:
Ring rỗng
Một Ring sẽ được gọi là Ring không hoặc Ring rỗng nếu singleton (0) đang sử dụng với toán tử nhị phân (+ hoặc *). Ring null có thể được mô tả như sau:
0 + 0 = 0 và 0.0 = 0
Ring giao hoán
Vành R sẽ được gọi là một vành giao hoán nếu phép Ring trong một vành cũng là một giao hoán, có nghĩa là x là ước bên phải của 0 cũng như ước bên trái của 0. Ring giao hoán có thể được mô tả như sau:
x.y = y.x với mọi x, y ∈ R
Vành sẽ được gọi là vành không giao hoán nếu phép Ring trong một vành không giao hoán.
Ring unity
Ring sẽ được gọi là Ring hợp nhất nếu một Ring có phần tử e như sau:
e.x = x.e = x với mọi R
e có thể được định nghĩa là bản sắc của các phần tử R, thống nhất hoặc đơn vị.
Ring có số chia 0
Nếu một vành chứa hai phần tử khác không x, y ∈ R, thì vành đó sẽ được gọi là ước của không. Ring có các ước số 0 có thể được mô tả như sau:
y.x = 0 hoặc x.y = 0
x và y có thể được coi là ước số thích hợp của 0 bởi vì trong trường hợp đầu tiên, x là ước số bên phải của 0, và trong trường hợp thứ hai, x là ước số bên trái của số không.
0 được mô tả là Ring dạng phụ gia trong R
Ring không có số chia 0
Nếu tích của không có hai phần tử khác không là số 0 trong một Ring, thì Ring đó sẽ được gọi là một Ring không có ước số 0. Ring không có phần tử 0 có thể được mô tả như sau:
xy = 0 => x = 0 hoặc y = 0
Thuộc tính của Ring
Mọi x, y, z ∈ R nếu R là một vành
(-x) (- y) = xy
x0 = 0x = 0
(y-z) x = yx- zx
x (-y) = – (xy) = (-x) y
x (y-z) = xy – xz
