Rate this post

Quá trình xác lập tính hợp lệ của một kết quả thông thường liên quan đến các số tự nhiên là nguyên tắc quy nạp toán học.

Các bài viết liên quan:

Quy tắc quy nạp

Cho n0 là một số nguyên cố định. Giả sử P (n) là một phát biểu liên quan đến số tự nhiên n và chúng ta muốn chứng minh rằng P (n) đúng với mọi n ≥n0.

1. Cơ bản của quy nạp: P (n0) đúng, tức là P (n) đúng với n = n0.

2. Bước quy nạp: Giả sử rằng P (k) đúng với n = k.

  • Khi đó P (K + 1) cũng phải đúng.
  • Khi đó P (n) đúng với mọi n ≥n0.

Ví dụ 1:

Chứng minh bằng Quy nạp toán học:

1 + 3 + 5 +.... + 2n - 1 = n^2.
P (n) = 1 + 3 + 5 +..... + 2n - 1 = n2.
với n = 1, 	P (1) = 1 = 12 = 1
đúng với n = 1................ (i)

Bước quy nạp: Với n = r,

P (r) = 1 + 3 + 5 + ..... + 2r-1 = r^2 là true ......................... ( ii)
Thêm 2r + 1 ở cả hai bên
       P (r + 1) = 1 + 3 + 5 + ..... + 2r-1 + 2r +1
                = r2 + (2r + 1) = r2 + 2r +1 = (r + 1)^ 2 ..................... (iii)
Vì P (r) là đúng. Do đó P (r + 1) cũng đúng.
Từ (i), (ii) và (iii) chúng tôi kết luận rằng.
        1 + 3 + 5 + ..... + 2n - 1 = n2 đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5 .... Do đó đã chứng minh.

Ví dụ 2:

Lời giải: Với n = 1,
P (1) = 12 = quy nạp toán học = 1

Nó đúng với n = 1.

Bước quy nạp: Với n = r, ................... (i)
P (r) = 12 + 22 + 32 + ........ + r2 = Phép tính toán học đúng ........... (ii)

Thêm (r + 1) 2 vào cả hai bên, chúng tôi nhận được
P (r + 1) = 12 + 22 + 32 + ....... + r2 + (r + 1) 2 = Quy nạp toán học + (r + 1) 2

Quy nạp toán học

Vì P (r) là đúng, do đó P (r + 1) là đúng.
Từ (i), (ii) và (iii) chúng tôi kết luận rằng

12 + 22 + 32 + ...... + n2 = Quy nạp toán học đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5 ..... Do đó đã chứng minh.

Ví dụ 3: Chỉ ra rằng với bất kỳ số nguyên n nào

chia hết cho 133.

Let P (n) = 11n+2+122n+1
    For n = 1,
    P (1) = 113+123=3059=133 x 23
So, 133 chia P (1).................. (i)
Bước quy nạp: Với n = r,

P (r) = 11r + 2 + 122r + 1 = 133 x s ............ (ii)
 Bây giờ, với n = r + 1,
P (r + 1) = 11r + 2 + 1 + 122 (r) + 3 = 11 [133s-122r + 1] + 144. 122r + 1
        = 11 x 133 giây + 122r + 1.133 = 133 [11 giây + 122r + 1] = 133 x t ........... (iii)
Vì (i), (ii) và (iii) tất cả đều đúng, do đó P (n) chia hết cho 133.

Leave a Reply

Call now
%d bloggers like this: