Relations R trên tập A được gọi là partial order relation nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau:
- Relations R là phản xạ, tức là aRa ∀ a∈A.
- Relations R là Đối xứng, tức là, aRb và bRa ⟹ a = b.
- Relations R có tính bắc cầu, tức là aRb và bRc ⟹ aRc.
Các bài viết liên quan:
Ví dụ 1: Chỉ ra Relations (x, y) ∈ R, nếu, x ≥ y được xác định trên tập các số nguyên + ve có phải là Relations bậc riêng hay không.
Giải: Xét tập A = {1, 2, 3, 4} chứa bốn + nguyên. Tìm Relations của tập hợp này chẳng hạn như R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.
- Phản xạ: Relations có tính phản xạ với mọi a ∈ A. (a, a) ∈ R, tức là (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R.
- Đối xứng: Relations là phản đối xứng khi bất cứ khi nào (a, b) và (b, a) ∈ R, ta có a = b.
- Transitive: Relations có tính bắc cầu khi bất cứ khi nào (a, b) và (b, c) ∈ R, chúng ta có (a, c) ∈ R.
Ví dụ: (4, 2) ∈ R và (2, 1) ∈ R, ngụ ý (4, 1) ∈ R.
Vì mối Relations là phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Do đó, nó là một Relations thứ tự một phần.
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng Relations ‘Phép chia’ được xác định trên N là một Relations bậc riêng.
Suy ra: Ta có một chia a, ∀ a∈N. Do đó, Relations ‘Phân chia’ là phản xạ.
- Đối xứng: Cho a, b, c ∈N, sao cho a chia hết b. Nó ngụ ý b chia a iff a = b. Vì vậy, Relations là phản đối xứng.
- Phép bắc cầu: Cho a, b, c ∈N, sao cho a chia b và b chia hết c.
Khi đó a chia hết c. Do đó mối Relations có tính bắc cầu. Như vậy, Relations phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu, Relations ‘chia’ là Relations thứ tự bộ phận.
Ví dụ 3: (a) Relations ⊆ của một tập hợp bao gồm là thứ tự một phần hoặc bất kỳ tập hợp nào của tập hợp vì tập bao gồm có ba thuộc tính mong muốn:
- A ⊆ A với tập A bất kỳ.
- Nếu A ⊆ B và B ⊆ A thì B = A.
- Nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C
(b) Relations ≤ trên tập R của số thực không phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
(c) Relations ≤ là một Relations thứ tự từng phần.
Relations n-Ary
Theo Relations n-ary, chúng ta có nghĩa là một tập các bộ n có thứ tự. Với bất kỳ tập S nào, một tập con của tập tích Sn được gọi là Relations n-ary trên S. Đặc biệt, tập con của S3 được gọi là Relations bậc ba trên S.
Partial Order Set (POSET):
Tập hợp A cùng với Relations thứ tự từng phần R trên tập A và được ký hiệu là (A, R) được gọi là tập hợp lệnh từng phần hay POSET.
Total Order Relation
Xét Relations R trên tập A. Nếu cũng được gọi là trường hợp với mọi a, b ∈ A, ta có (a, b) ∈ R hoặc (b, a) ∈ R hoặc a = b, thì Relations R là Relations thứ tự toàn phần đã biết trên tập A.
Ví dụ: Chứng tỏ rằng Relations ‘<‘ (nhỏ hơn) xác định trên N, tập hợp các số nguyên + ve không phải là Relations tương đương hay Relations có thứ tự một phần mà là Relations thứ tự toàn phần.
Phản xạ: Cho a ∈ N, thì a <a
⟹ ‘<‘ không phải là phản xạ.
Vì, Relations ‘<‘ (nhỏ hơn) không phải là Relations phản xạ, nó không phải là Relations tương đương cũng không phải là Relations thứ tự từng phần.
Nhưng với ∀ a, b ∈ N, chúng ta có a <b hoặc b <a hoặc a = b. Vì vậy, Relations là một Relations thứ tự tổng số.
Equivalence Class
Xét, Relations tương đương R trên tập A. Lớp tương đương của một phần tử a ∈ A, là tập các phần tử của A mà phần tử a có liên quan. Nó được ký hiệu là [a].
Ví dụ: Cho R là một Relations tương đương trên tập A = {4, 5, 6, 7} được xác định bởi
R = {(4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (4, 6), (6, 4)}.
Xác định các lớp tương đương của nó.
Giải pháp: Các lớp tương đương như sau:
- {4} = {6} = {4, 6}
- {5} = {5}
- {7} = {7}.
Circular Relation
Xét một Relations nhị phân R trên tập A. Relations R được gọi là vòng nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R ngụ ý (c, a) ∈ R.
Ví dụ: Coi R là một Relations tương đương. Chứng tỏ rằng R là phản xạ và hình tròn.
Giải: Phản xạ: Relations As, R là Relations tương đương. Vì vậy, tính phản xạ là thuộc tính của một Relations tương đương. Do đó, R là phản xạ.
Đường tròn: Cho (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R
⇒ (a, c) ∈ R (∵ R có tính bắc cầu)
⇒ (c, a) ∈ R (∵ R là đối xứng)
Như vậy, R là hình tròn.
Compatible Relation
Relations nhị phân R trên tập A phản xạ và đối xứng được gọi là Relations tương thích.
Mọi Relations Tương đương đều tương thích, nhưng mọi Relations tương thích không nhất thiết phải là tương đương.
Ví dụ: Tập hợp một người bạn là tương thích nhưng có thể không phải là một Relations tương đương.
a → b, b → c nhưng có thể a và c không phải là bạn của nhau.
