Cho G là một nhóm. Nhóm con H của G được coi là Normal SubGroup của G nếu với mọi h∈ H và x∈ G, x h x-1∈ H
Nếu x H x-1 = {x h x-1 | h ∈ H} thì H là chuẩn tắc trong G nếu và chỉ khi xH x-1⊆H, ∀ x∈ G
Phát biểu: Nếu G là một nhóm abel thì mọi nhóm con H của G đều bình thường trong G.
Chứng minh: Với bất kỳ h∈ H, x∈ G, thì
Do đó H là Normal SubGroup của G.
Các bài viết liên quan:
Group Homomorphism
Phép Homomorphism là một ánh xạ f: G → G ‘sao cho f (xy) = f (x) f (y), ∀ x, y ∈ G. Ánh xạ f bảo toàn phép toán nhóm mặc dù các phép toán nhị phân của nhóm G và G ‘là khác nhau. Điều kiện trên được gọi là điều kiện Homomorphism.
Kernel của phép đồng cấu: – Nhân của phép Homomorphism f từ nhóm G sang nhóm G ‘với đồng dạng e’ là tập {x∈ G | f (x) = e ‘}
Kernel của f được kí hiệu là Ker f.
Nếu f: G → G ‘là phép Homomorphism của G thành G’, thì tập ảnh của f là khoảng, ký hiệu là f (G), của ánh xạ f. Như vậy
Im (f) = f (G) = {f (x) ∈ G ‘| x ∈G}
Nếu f (G) = G ‘thì G’ được gọi là ảnh Homomorphism của G.
Isomorphis
Gọi (G1, *) và (G2,0) là hai hệ đại số, trong đó * và 0 đều là các phép toán nhị phân. Hệ (G1, *) và (G2,0) được cho là đẳng cấu nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cấu f: G1 → G2
Khi hai hệ thống đại số là đồng phân, các hệ thống tương đương về cấu trúc và một hệ thống có thể được lấy từ một hệ thống khác bằng cách chỉ cần giữ lại các phần tử và phép toán.
Ví dụ: Cho (A1, *) và (A2, ⊡) là hai hệ thức đại số như trong hình. Xác định xem hai hệ thức đại số có đồng phân hay không.
Giải: Hai hệ đại số (A1, *) và (A2, ⊡) là đồng dạng và (A2, ⊡) là một ảnh đồng dạng của A1, sao cho
Automorphism
Gọi (G1, *) và (G2,0) là hai hệ đại số, trong đó * và 0 đều là các phép toán nhị phân trên G1 và G2 tương ứng. Sau đó, một đẳng cấu từ (G1, *) đến (G2,0) được gọi là một phép đồng cấu nếu G1 = G2
Rings
Một hệ đại số (R, +,) trong đó R là một tập hợp với hai phép toán nhị phân tùy ý + và., Được gọi là aring nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
(R, +) là một nhóm abel.
(R, ∙) là một nửa nhóm.
Phép toán nhân, được phân phối so với phép toán cộng + tức là
a (b + c) = ab + ac và (b + c) a = ba + ca với mọi a, b, c ∈ R.
Ví dụ 1: Coi M là tập hợp tất cả các ma trận có kiểu Normal SubGroup trên các số nguyên trong phép cộng ma trận và phép nhân ma trận. Như vậy M tạo thành một vành.
Ví dụ 2: Tập Z9 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dưới phép toán cộng và nhân modulo 9 tạo thành một vành.
Các loại Rings
- Các vành giao hoán: Một vành (R, +,) được gọi là một vành giao hoán nếu nó giữ luật giao hoán trong phép toán nhân tức là a. b = b. a, với mọi a, b∈ R
Ví dụ 1: Xét một tập E gồm tất cả các số nguyên chẵn trong phép toán cộng và nhân. Tập hợp E tạo thành một vành giao hoán.
- Vòng có Unity: Một vòng (R, +,) được gọi là vòng có sự Unity, nếu nó có một nhận dạng nhân số, tức là
Ví dụ: Xét một tập hợp M gồm tất cả các ma trận 2 x 2 trên các số nguyên trong phép nhân ma trận và phép cộng ma trận. Tập hợp M tạo thành một vòng với UniGroup con bình thường.
- Vòng có vạch chia 0: Nếu a.b = 0, trong đó a và b là hai phần tử khác không bất kỳ của R trong vành (R, +) thì a và b được gọi là các vạch chia 0 và vành (R, +) được gọi là vòng có độ chia bằng không.
- Các vành không có phép chia 0: Một hệ đại số (R, +) trong đó R là một tập hợp với hai phép toán nhị phân tùy ý + và được gọi là một vành không có ước số 0 nếu với mọi a, b ∈R, ta có a.b ≠ 0 ⟹ a ≠ 0 và b ≠ 0
SubRings:
Một tập con A của một vành (R, +) được gọi là một chuỗi con của R, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(A, +) là một nhóm con của nhóm (R, +)
A được đóng theo phép nhân, tức là a.b ∈A, với mọi a, b ∈A.
Ví dụ: Vành (I, +) của số nguyên là một chuỗi con của vành (R, +) của các số thực.
Ghi chú:
- Nếu R là một vành bất kỳ thì {0} và R là các subring của R.
- Tổng của hai subring có thể không phải là một subring.
- Giao điểm của subring là 1 subring.
