Gọi A, B là hai tập hợp hữu hạn bất kỳ. Khi đó n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
Ở đây “Inclusion” n (A) và n (B) và chúng tôi “Exclusion” n (A ∩ B)
Các bài viết liên quan:
Khái niệm cơ bản của nguyên tắc Inclusion-Exclusion
Nguyên tắc Inclusion-Exclusion là một khái niệm quan trọng trong toán học, được sử dụng để tính toán số phần tử trong các tập hợp giao nhau. Nó cung cấp phương pháp đếm các phần tử trong các tập hợp dựa trên sự kết hợp và loại trừ.
Khái niệm cơ bản của nguyên tắc Inclusion-Exclusion là rằng khi ta muốn tính số phần tử trong tổng hợp của nhiều tập hợp, ta có thể lấy tổng số phần tử của từng tập hợp sau đó trừ đi số phần tử chung của các cặp tập hợp và cộng lại số phần tử chung của các bộ ba tập hợp. Bằng cách lặp lại quy trình này, ta có thể tính được số phần tử của tổng hợp của các tập hợp.
Xem thêm Tính chất đóng của Relations
Công thức tính toán nguyên tắc Inclusion-Exclusion có thể được biểu diễn như sau: S = |A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ Aₙ| = Σ(|Aᵢ|) – Σ(|Aᵢ ⋂ Aⱼ|) + Σ(|Aᵢ ⋂ Aⱼ ⋂ Aₖ|) – …
Trong đó:
- |A| đại diện cho số phần tử của tập hợp A.
- A₁, A₂, …, Aₙ là các tập hợp.
- Aᵢ ⋂ Aⱼ đại diện cho giao của hai tập hợp Aᵢ và Aⱼ.
- S là tổng số phần tử của tổng hợp các tập hợp.
Nguyên tắc Inclusion-Exclusion cung cấp một công cụ mạnh mẽ để tính toán số phần tử trong các tập hợp giao nhau. Nó được áp dụng rộng rãi trong lĩnh vực xác suất, lý thuyết đồ thị, lý thuyết tập hợp và nhiều lĩnh vực toán học khác.
Ví dụ Nguyên tắc Inclusion-Exclusion
Ví dụ 1:
Giả sử A, B, C là các tập hợp hữu hạn. Khi đó A ∪ B ∪ C là hữu hạn và n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
Ví dụ 2:
Ở một thị trấn có 10000 gia đình, người ta thấy rằng 40% gia đình mua báo A, 20% gia đình mua báo B, 10% gia đình mua báo C, 5% gia đình mua báo A và B, 3% gia đình mua báo B và C và 4% gia đình mua báo A và C. Nếu 2% gia đình mua tất cả các tờ báo. Tìm số lượng gia đình mua
Số gia đình mua cả ba tờ báo.
Số gia đình chỉ mua báo A
Số gia đình chỉ mua báo B
Số gia đình chỉ mua báo C
Số gia đình mua Không có A, B, C
Số gia đình chỉ mua đúng một tờ báo
Số gia đình chỉ mua báo A và B
Số gia đình chỉ mua báo B và C
Số gia đình chỉ mua báo C và A
Số gia đình mua ít nhất hai tờ báo
Số gia đình mua nhiều nhất hai tờ báo
Số gia đình mua đúng hai tờ báo
1. Số gia đình mua cả ba tờ báo:
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
n (A ∪ B ∪ C) = 40 + 20 + 10 – 5 – 3 – 4 + 2 = 60%
2. Số gia đình chỉ mua báo A
= 40 – 7 = 33%
3. Số gia đình chỉ mua báo B
= 20 – 6 = 14%
4. Số gia đình chỉ mua báo C
= 10 – 5 = 5%
5. Số lượng các gia đình mua Không có A, B và C
n (A ∪B ∪C) c = 100 – n (A ∪ B ∪ C)
n (A ∪B ∪C) c = 100 – [40 + 20 + 10 – 5- 3- 4 + 2]
n (A ∪B ∪C) c = 100 – 60 = 40%
6. Số gia đình chỉ mua đúng một tờ báo
= 33 + 14 + 5 = 52%
7. Số gia đình chỉ mua báo A và B
= 3%
8. Số gia đình chỉ mua báo B và C
= 1%
9. Số gia đình chỉ mua báo C và A
= 2%
10. Số gia đình mua ít nhất hai tờ báo
= 8%
11. Số gia đình mua nhiều nhất hai tờ báo
= 98%
12. Số gia đình mua đúng hai tờ báo
= 6%
Ví dụ 3
Để minh họa về nguyên tắc Inclusion-Exclusion, hãy xem xét ví dụ sau:
Giả sử chúng ta có một tập hợp A chứa các số nguyên từ 1 đến 10 và một tập hợp B chứa các số nguyên từ 5 đến 15. Chúng ta muốn tính số phần tử của tập hợp hợp của A và B, tức là số các số nguyên xuất hiện trong cả hai tập hợp.
Để giải quyết bài toán này, ta có thể áp dụng nguyên tắc Inclusion-Exclusion. Theo nguyên tắc này, ta cần tính tổng số phần tử của tập hợp A và tập hợp B, sau đó trừ đi số phần tử chung của A và B.
- Số phần tử của tập hợp A là 10.
- Số phần tử của tập hợp B là 11 (15 – 5 + 1).
Bây giờ, ta cần tính số phần tử chung của A và B, tức là số các số nguyên từ 5 đến 10.
- Số phần tử chung của A và B là 6 (10 – 5 + 1).
Áp dụng nguyên tắc Inclusion-Exclusion, ta có:
Số phần tử của tập hợp hợp của A và B = Số phần tử của A + Số phần tử của B – Số phần tử chung của A và B = 10 + 11 – 6 = 15.
Do đó, tập hợp hợp của A và B chứa 15 số nguyên từ 1 đến 15.
Ví dụ trên minh họa cách áp dụng nguyên tắc Inclusion-Exclusion để tính số phần tử của tập hợp hợp trong một tình huống cụ thể. Tuy nhiên, nguyên tắc Inclusion-Exclusion có thể được áp dụng cho các tập hợp và bài toán phức tạp hơn, nơi có nhiều tập hợp và các phần tử chung khác nhau.
Xem thêm Lý thuyết số học trong mã hóa
Áp dụng nguyên tắc Inclusion-Exclusion trong các bài toán
Nguyên tắc Inclusion-Exclusion có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tính toán số phần tử trong các tập hợp giao nhau. Dưới đây là một số ví dụ về cách áp dụng nguyên tắc Inclusion-Exclusion trong các bài toán:
- Bài toán về số nguyên không chia hết cho các số trong một tập hợp: Cho một tập hợp các số nguyên dương A và các số nguyên dương a₁, a₂, …, aₙ. Ta cần tính số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng một số n cho không chia hết cho bất kỳ số nào trong tập hợp A. Áp dụng nguyên tắc Inclusion-Exclusion, ta có thể tính toán số lượng các số thỏa mãn bằng cách lấy tổng số số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n, sau đó trừ đi số lượng các số chia hết cho từng số trong tập hợp A, sau đó cộng lại số lượng các số chia hết cho cặp các số trong tập hợp A, và tiếp tục loại trừ các số chia hết cho bộ ba số, và cứ tiếp tục như vậy.
- Bài toán về xác suất sự kiện không độc lập: Giả sử chúng ta có hai sự kiện A và B không độc lập trong một không gian mẫu. Chúng ta muốn tính xác suất của sự kiện A hoặc B xảy ra. Áp dụng nguyên tắc Inclusion-Exclusion, ta có thể tính xác suất bằng cách lấy tổng xác suất của sự kiện A và B, sau đó trừ đi xác suất của sự kiện A và B xảy ra cùng một lúc (A ⋂ B).
Các bài toán khác như tính toán số phần tử trong tập hợp hợp của nhiều tập hợp, tính số phần tử trong tập hợp giao của nhiều tập hợp, cũng có thể được giải quyết bằng cách áp dụng nguyên tắc Inclusion-Exclusion.
Qua các ví dụ trên, ta thấy nguyên tắc Inclusion-Exclusion là một công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết các bài toán liên quan đến tính toán số phần tử trong các tập hợp giao nhau và xác suất các sự kiện không độc lập.
Xem thêm Function trong toán học
Ứng dụng của nguyên tắc Inclusion-Exclusion
Nguyên tắc Inclusion-Exclusion có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực như xác suất, lý thuyết đồ thị, lý thuyết tập hợp và các bài toán đếm. Dưới đây là một số ứng dụng phổ biến của nguyên tắc Inclusion-Exclusion:
- Tính số phần tử trong tập hợp hợp của nhiều tập hợp: Khi ta có nhiều tập hợp và muốn tính số phần tử của tập hợp hợp (tức là số phần tử xuất hiện trong ít nhất một tập hợp), nguyên tắc Inclusion-Exclusion được sử dụng. Bằng cách lấy tổng số phần tử của từng tập hợp, sau đó loại bỏ các phần tử chung của các cặp tập hợp và cộng lại các phần tử chung của các bộ ba tập hợp, ta có thể tính toán số phần tử trong tập hợp hợp.
- Tính xác suất các sự kiện không độc lập: Khi xảy ra các sự kiện không độc lập trong một không gian mẫu, nguyên tắc Inclusion-Exclusion được sử dụng để tính toán xác suất của các sự kiện xảy ra ít nhất một lần. Bằng cách lấy tổng xác suất của các sự kiện riêng lẻ, sau đó trừ đi xác suất của các sự kiện xảy ra cùng một lúc, ta có thể tính xác suất của các sự kiện không độc lập.
- Tính số phần tử trong các tập hợp giao nhau: Khi ta có nhiều tập hợp và muốn tính số phần tử của tập hợp giao nhau (tức là số phần tử xuất hiện trong tất cả các tập hợp), nguyên tắc Inclusion-Exclusion cũng có thể được áp dụng. Bằng cách lấy tổng số phần tử của từng tập hợp, sau đó trừ đi số phần tử chung của các cặp tập hợp và cộng lại số phần tử chung của các bộ ba tập hợp, ta có thể tính toán số phần tử trong tập hợp giao nhau.
- Tính toán số lượng tìm kiếm và phân tích các vấn đề liên quan đến tập hợp: Nguyên tắc Inclusion-Exclusion cung cấp một công cụ mạnh mẽ để tính toán số lượng các phần tử trong các tập hợp và các sự kiện phức tạp. Điều này rất hữu ích trong việc tìm kiếm và phân tích dữ liệu, xử lý tập hợp các đối tượng và giải quyết các vấn đề liên quan đến tập hợp.
Trên đây là một số ứng dụng phổ biến của nguyên tắc Inclusion-Exclusion trong các lĩnh vực khác nhau. Nguyên tắc này là một công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán đếm và tính toán liên quan đến tập hợp và xác suất.
Xem thêm Thành phần của các Function
