Quan hệ lặp lại được gọi là tuyến tính nếu bậc của nó là một.
Dạng tổng quát của quan hệ tuần hoàn tuyến tính với hệ số không đổi là
Trong đó C0, C1, C2 …… Cn là hằng số và R (n) là cùng một hàm của biến độc lập n.
Một nghiệm của một quan hệ truy hồi trong bất kỳ hàm nào thỏa mãn phương trình đã cho.
Các bài viết liên quan:
Linear Homogeneous Recurrence Relations với hệ số không đổi:
Phương trình được cho là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất nếu và chỉ khi R (n) = 0 và nó sẽ có bậc n.
Phương trình được cho là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất nếu R (n) ≠ 0.
Ví dụ 1: Phương trình
là một phương trình tuyến tính không thuần nhất bậc 3.
Ví dụ 2: Phương trình
là một phương trình tuyến tính không thuần nhất bậc 2.
Một phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số không đổi được đưa ra bởi
Trong đó C0, C1, C2 ….. Cn là các hằng số.
Nghiệm của phương trình (i) có dạng Linear Recurrence Relations với hệ số không đổi, trong đó ∝1 là gốc đặc trưng và A là hằng số.
Thay các giá trị của A ∝K cho yn trong phương trình (1), ta có
Sau khi đơn giản hóa phương trình (ii), chúng ta có
Phương trình (iii) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân.
Nếu ∝1 là một trong những nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng, thì Linear Recurrence Relations với hệ số không đổi là một nghiệm thuần nhất cho phương trình sai phân.
Để tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất, chúng ta có bốn trường hợp được thảo luận như sau:
Trường hợp 1: Nếu phương trình đặc trưng có n nghiệm thực phân biệt ∝1, ∝2, ∝3, ……. ∝n.
Do đó, Linear Recurrence Relations với Hệ số không đổi là tất cả các nghiệm của phương trình (i).
Ngoài ra, chúng ta có Linear Recurrence Relations với Hệ số không đổi là tất cả các nghiệm của phương trình (i). Tổng các giải pháp cũng là các giải pháp.
Do đó, các nghiệm thuần nhất của phương trình sai phân là
Trường hợp 2: Nếu phương trình đặc điểm có nghiệm nguyên lặp lại.
Nếu ∝1 = ∝2, thì
với hệ số không đổi cũng là một nghiệm.
Nếu ∝1 = ∝2 = ∝3 thì
với hệ số không đổi cũng là một nghiệm.
Tương tự, nếu căn ∝1 được lặp lại n lần thì.
Nghiệm của phương trình thuần nhất.
Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc điểm có một nghiệm nguyên.
Nếu α + iβ là căn của phương trình đặc trưng thì α-iβ cũng là căn, trong đó α và β là thực.
Do đó, (α + iβ) K và (α-iβ) K là nghiệm của phương trình. Điều này nghĩa là
Cũng là một giải pháp cho phương trình đặc tính, trong đó A1 và A2 là các hằng số cần được xác định.
Trường hợp 4: Nếu phương trình đặc trưng có lặp lại nghiệm nguyên.
Khi phương trình đặc điểm có gốc tưởng tượng lặp lại,
Là nghiệm của phương trình thuần nhất.
Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân ar-3ar-1 + 2ar-2 = 0.
Lời giải: Phương trình đặc điểm được cho bởi
Do đó, nghiệm thuần nhất của phương trình được cho bởi
Ví dụ 2: Giải phương trình sai phân 9yK + 2-6yK + 1 + yK = 0.
Giải: Phương trình đặc điểm là
với hệ số không đổi và Mối Linear Recurrence Relations với hệ số không đổi
Do đó, nghiệm thuần nhất của phương trình được cho bởi
Ví dụ 3: Giải phương trình sai phân
Giải: Phương trình đặc điểm là
Do đó, nghiệm thuần nhất của phương trình là
Ví dụ 4: Giải phương trình sai phân
Giải: Phương trình đặc điểm là
Do đó, nghiệm thuần nhất của phương trình được cho bởi
