Rate this post

Các bài viết liên quan khác:

Gọi L là một tập khác rỗng được đóng dưới hai phép toán nhị phân gọi là meet và join, ký hiệu là ∧ và ∨. Khi đó L được gọi là lattice nếu các tiên đề sau đây giữ nguyên a, b, c là các phần tử trong L:

Luật giao hoán:

(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

Luật kết hợp:

(a) (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

Luật hấp thụ:

(a) a ∧ (a ∨ b) = a (b) a ∨ (a ∧ b) = a

Tính hai mặt

Đối ngẫu của bất kỳ câu lệnh nào trong một Lattice (L, ∧, ∨) được định nghĩa là một câu lệnh thu được bằng cách hoán đổi cho nhau ∧ an ∨.

Ví dụ, đối ngẫu của a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a là a ∨ (b ∧ a) = a ∧ a

Tóm tắt nội dung

Lattices có giới hạn:

Lattices L được gọi là mạng có giới hạn nếu nó có phần tử lớn nhất là 1 và phần tử nhỏ nhất là 0.

Ví dụ:

Tập lũy thừa P (S) của tập S trong phép toán giao và hợp là một lattices có giới hạn vì ∅ là phần tử nhỏ nhất của P (S) và tập S là phần tử lớn nhất của P (S).
Tập hợp + ve số nguyên I + theo thứ tự thông thường của ≤ không phải là một Lattices bị giới hạn vì nó có một phần tử nhỏ nhất là 1 nhưng phần tử lớn nhất không tồn tại.

Thuộc tính của Lattices có giới hạn:

Nếu L là một mạng có giới hạn, thì với bất kỳ phần tử nào a ∈ L, chúng ta có các đồng nhất sau:

a ∨ 1 = 1
a ∧1 = a
a ∨0 = a
a ∧0 = 0

Định lý: Chứng minh rằng mọi Lattices hữu hạn L = {a1, a2, a3 …. an} đều có giới hạn.

Chứng minh: Chúng ta đã cho Lattices hữu hạn:

L = {a1, a2, a3 .... an}

Do đó, phần tử lớn nhất của Lưới L là a1∨ a2∨ a3∨ …. ∨an.

Ngoài ra, phần tử nhỏ nhất của Lattices L là a1∧ a2∧a3∧ …. ∧an.

Vì, các phần tử lớn nhất và ít nhất tồn tại cho mọi Lattices hữu hạn. Do đó, L bị giới hạn.

Sub-Lattices

Xét một tập con không rỗng L1 của Lattices L. Khi đó L1 được gọi là sub-lattices của L nếu bản thân L1 là một Lattices, tức là phép toán của L tức là, a ∨ b ∈ L1 và a ∧ b ∈ L1 bất cứ khi nào a ∈ L1 và b ∈ L1.

Ví dụ: Hãy xem xét Lattices của tất cả + ve số nguyên I + dưới phép toán chia hết. Lattices Dn của tất cả các ước của n> 1 là một mạng con của I +.

Xác định tất cả các sub lattice của D30 có chứa ít nhất bốn phần tử, D30 = {1,2,3,5,6,10,15,30}.

Giải: Các sub lattice của D30 chứa ít nhất bốn phần tử như sau:

{1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
{1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
{1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
{2, 6, 10, 30}

Isomorphic Lattices:

Hai Lattices L1 và L2 được gọi là Lattices đẳng cấu nếu có một phép chiếu từ L1 đến L2 tức là f: L1⟶ L2, sao cho f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b) và f (a ∨ b ) = f (a) ∨ f (b)

Ví dụ: Xác định xem các Lattices trong hình có phải là đồng cấu hay không.

Giải: Các Lattices trong hình là đồng dạng. Xét ánh xạ f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Ví dụ f (b ∧ c) = f (a) = 1. Ngoài ra, chúng ta có f (b) ∧ f (c) = 2 ∧ 3 = 1

Distributive Lattice

Lattices L được gọi là Lattices phân bố nếu đối với bất kỳ phần tử a, b và c nào của L, nó thỏa mãn các tính chất phân phối sau:

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Nếu Lattices L không thoả mãn các tính chất trên được gọi là Lattices không phân bố.

Ví dụ:

Tập lũy thừa P (S) của tập S dưới phép toán của giao và hợp là một hàm phân phối. Từ,

a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)

và, cũng a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) với bất kỳ bộ a, b và c nào của P (S).

Lattices được thể hiện trong hình II là một mạng phân bố. Do đó, nó thỏa mãn các thuộc tính phân phối cho tất cả các bộ ba có thứ tự được lấy từ 1, 2, 3 và 4.

Complements và complemented lattices

Gọi L là lattices có giới hạn với giới hạn dưới o và giới hạn trên I. Gọi a là một phần tử nếu L. Một phần tử x trong L được gọi là phần bù của a nếu a ∨ x = I và a ∧ x = 0

Một Lattices L được cho là complements nếu L có giới hạn và mọi phần tử trong L đều có phần bù.

Ví dụ: Xác định phần bù của a và c trong hình:

Lời giải: Phần bù của a là d. Vì a ∨ d = 1 và a ∧ d = 0

Phần bù của c không tồn tại. Vì không tồn tại phần tử c sao cho c ∨ c ‘= 1 và c ∧ c’ = 0.

Modular Lattice

Một Lattices (L, ∧, ∨) được gọi là Lattices modular nếu a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c bất cứ khi nào a ≤ c.

Tích của hai Lattice

Gọi (L1 ∨1 ∧1) và (L2 ∨2 ∧2) là hai Lattices. Khi đó (L, ∧, ∨) là tích trực tiếp của các latices, trong đó L = L1 x L2 trong đó phép toán nhị phân ∨ (join) và ∧ (meet) trên L sao cho bất kỳ (a1, b1) và (a2 , b2) trong L.

(a1, b1) ∨ (a2, b2) = (a1 ∨1 a2, b1 ∨2 b2)

và (a1, b1) ∧ (a2, b2) = (a1 ∧1 a2, b1 ∧2 b2).

Ví dụ: Hãy xem xét một Lattices (L, ≤) như trong hình. trong đó L = {1, 2}. Xác định các mạng (L2, ≤), trong đó L2 = L x L.

Giải pháp: Lattices (L2, ≤) được hiển thị trong hình:

Câu hỏi phổ biến nhất về lattice

Các câu hỏi phổ biến về Lattice (khung lưới) bao gồm:

Lattice là gì?

Lattice là một khung lưới đa chiều được sử dụng trong lý thuyết đồng thời và rời rạc.

Lattice được sử dụng để làm gì?

Lattice được sử dụng để mô hình hóa các không gian liên tục và không liên tục trong các bài toán đồng thời và rời rạc, từ đó giải quyết các bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực như toán học, khoa học máy tính, vật lý, hóa học, kinh tế học, v.v.

Khái niệm “point” (điểm) trong Lattice là gì?

“Point” trong Lattice là một điểm trên khung lưới đa chiều được định nghĩa bằng một bộ các giá trị tọa độ.

Các loại Lattice phổ biến nhất là gì?

Các loại Lattice phổ biến nhất là Lattice hình chữ nhật (rectangular lattice), Lattice hệ số góc (hexagonal lattice), và Lattice tháp (cubic lattice).

Lattice có ứng dụng trong lĩnh vực nào?

Lattice có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như lý thuyết thông tin, mã hóa kênh, mã hóa ngẫu nhiên, mã hóa mật khẩu, mật mã học, thống kê, vật lý, và khoa học máy tính.

Lattice có những đặc tính gì?

Lattice có tính chất đối xứng, các phép biến đổi đơn giản và có thể tính toán được, và được sử dụng để mô hình hóa các không gian rời rạc và liên tục.

Lattice có ứng dụng trong lĩnh vực mã hóa và bảo mật thông tin như thế nào?

Lattice được sử dụng để tạo ra các hệ thống mã hóa và bảo mật thông tin vì tính chất của nó: đối xứng, khó giải mã, dễ tính toán và dễ triển khai. Các ứng dụng của lattice trong lĩnh vực này bao gồm mã hóa đường cong, chữ ký số, bảo mật thông tin trên mạng, v.v.

Lattice có liên quan đến Machine Learning như thế nào?

Lattice cũng được sử dụng trong Machine Learning để giải quyết các bài toán tìm kiếm cực đại, đặc biệt là trong bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu. Lattice cung cấp một phương thức khái quát để giải quyết các bài toán tối ưu đa mục tiêu, bao gồm bài toán tìm kiếm lời giải cực đại và phân tích cấu trúc của lời giải tối ưu.

Lattice cũng được sử dụng trong một số ứng dụng khác như thế nào?

Ngoài các ứng dụng trong lý thuyết đồng thời, bảo mật và Machine Learning, Lattice còn được sử dụng trong một số ứng dụng khác như: đồ họa máy tính, khuôn mẫu và thiết kế sản phẩm, định vị và điều hướng, xử lý hình ảnh và âm thanh, và nhiều ứng dụng khác.

Discrete Mathematics

Lattices