Xét một đồ thị G (V, E) và G * (V *, E *) được cho là đẳng cấu nếu tồn tại một đối một tương ứng tức là f: V → V * sao cho {u, v} là một cạnh của G nếu và chỉ khi {f (u), f (v)} là một cạnh của G *.
Số đỉnh của đồ thị (a) phải bằng đồ thị (b), tức là tương ứng 1-1 với một số đối với các cạnh.
Các bài viết liên quan:
Định nghĩa của Isomorphic Graphs
Isomorphic Graphs (Đồ thị đồng cấu) là thuật ngữ được sử dụng trong lĩnh vực lý thuyết đồ thị để chỉ hai đồ thị có cùng cấu trúc, tức là chúng có cùng số đỉnh và cùng số cạnh, và các đỉnh trong hai đồ thị có cùng mối quan hệ kết nối với nhau.
Một cách chính xác hơn, hai đồ thị G và H được coi là đồ thị đồng cấu nếu tồn tại một ánh xạ song ánh (bijective) f từ tập đỉnh của G đến tập đỉnh của H sao cho hai đỉnh u và v trong G kề nhau nếu và chỉ nếu hai đỉnh tương ứng f(u) và f(v) trong H cũng kề nhau.
Trong thuật ngữ khác, Isomorphic Graphs là những đồ thị có thể được biểu diễn và so sánh mà không quan tâm đến tên gọi của các đỉnh hay các nhãn khác biệt mà chỉ quan tâm đến mối quan hệ kết nối giữa các đỉnh.
Đặc điểm và tính chất của Isomorphic Graphs
Dưới đây là một số đặc điểm và tính chất quan trọng của Isomorphic Graphs:
- Cùng cấu trúc: Hai đồ thị Isomorphic có cùng cấu trúc, tức là số đỉnh và số cạnh của chúng giống nhau. Mọi thông tin về cạnh, kết nối và cấu trúc đồ thị được duy trì trong quá trình đồng cấu.
- Đơn ánh: Một ánh xạ đơn ánh tồn tại giữa hai đồ thị Isomorphic. Ánh xạ này ánh xạ mỗi đỉnh trong đồ thị G đến một đỉnh tương ứng trong đồ thị H và ngược lại. Ánh xạ này phải là một ánh xạ song ánh, tức là mỗi đỉnh trong G được ánh xạ vào duy nhất một đỉnh trong H và ngược lại.
- Bảo toàn cạnh và liên kết: Hai đỉnh u và v trong đồ thị G được kết nối bằng một cạnh nếu và chỉ nếu các đỉnh tương ứng f(u) và f(v) trong đồ thị H cũng được kết nối bằng một cạnh. Tính chất này đảm bảo rằng mối quan hệ kết nối giữa các đỉnh được bảo toàn trong quá trình đồng cấu.
- Không quan tâm đến nhãn: Isomorphic Graphs không quan tâm đến nhãn của các đỉnh. Điều này có nghĩa là bạn có thể đổi tên đỉnh hay đổi nhãn các đỉnh trong một đồ thị mà không ảnh hưởng đến tính đồng cấu. Quan trọng là các mối quan hệ kết nối giữa các đỉnh phải được bảo toàn.
- Độ phức tạp tính toán: Xác định xem hai đồ thị có đồng cấu với nhau hay không là một vấn đề tính toán phức tạp. Thuật toán đồng cấu đồ thị chính xác có độ phức tạp thời gian là O(n!) với n là số đỉnh. Tuy nhiên, có các thuật toán xấp xỉ và phương pháp heuristics để xác định tính đồng cấu một cách hiệu quả hơn trong thực tế.
Tổng quan, tính chất và đặc điểm của Isomorphic Graphs liên quan đến sự bảo toàn cấu trúc và mối quan hệ kết nối giữa các đỉnh trong quá trình đồng cấu, đồng thời không quan tâm đến tên gọi hay nhãn của các đỉnh.
Phân biệt giữa Isomorphic Graphs và Non-isomorphic Graphs
Isomorphic Graphs và Non-isomorphic Graphs là hai khái niệm trái ngược nhau trong lý thuyết đồ thị. Dưới đây là phân biệt giữa hai khái niệm này:
- Isomorphic Graphs (Đồ thị đồng cấu): Hai đồ thị được coi là đồ thị đồng cấu nếu chúng có cùng cấu trúc, tức là số đỉnh và số cạnh giống nhau, và các đỉnh trong hai đồ thị có cùng mối quan hệ kết nối với nhau. Một ánh xạ đơn ánh tồn tại giữa các đỉnh của hai đồ thị, bảo toàn cạnh và liên kết giữa các đỉnh.
- Non-isomorphic Graphs (Đồ thị không đồng cấu): Hai đồ thị được coi là không đồng cấu nếu chúng có cấu trúc khác nhau hoặc không thể tạo ra một ánh xạ đơn ánh giữa các đỉnh của chúng mà bảo toàn cạnh và liên kết. Tức là, tồn tại ít nhất một đặc điểm hoặc tính chất khác nhau giữa các đồ thị này.
Ví dụ, xét hai đồ thị G1 và G2 như sau: G1: A-B-C-D | | | E-F-G-H
G2: 1-2-3-4 | | | 5-6-7-8
G1 và G2 không đồng cấu vì chúng có cấu trúc khác nhau. Mặc dù số đỉnh và số cạnh giống nhau, nhưng không tồn tại ánh xạ đơn ánh giữa các đỉnh mà bảo toàn mối quan hệ kết nối giữa chúng.
Phân biệt giữa Isomorphic Graphs và Non-isomorphic Graphs dựa trên khả năng tìm thấy ánh xạ đơn ánh bảo toàn cấu trúc và mối quan hệ kết nối giữa các đỉnh. Nếu có thể tìm thấy một ánh xạ như vậy, hai đồ thị được coi là đồng cấu, ngược lại, chúng được coi là không đồng cấu.
Ứng dụng của Isomorphic Graphs
Isomorphic Graphs (đồ thị đồng cấu) có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
- Phân tích mạng xã hội: Trong lĩnh vực phân tích mạng xã hội, việc xác định đồ thị đồng cấu giữa các mạng xã hội khác nhau có thể giúp tìm ra cấu trúc tương tự và mô hình hóa mối quan hệ giữa các thành viên trong các mạng xã hội khác nhau.
- Tối ưu hóa mạng: Trong các bài toán tối ưu hóa mạng, việc tìm các đồ thị đồng cấu có thể giúp tìm ra cấu trúc mạng tối ưu hoặc tìm ra các mạng tương tự nhưng có hiệu suất cao hơn.
- Mã hóa thông tin: Đồ thị đồng cấu được sử dụng trong mã hóa thông tin và truyền thông. Sử dụng các biến đổi đồng cấu, thông tin có thể được mã hóa và truyền qua mạng một cách an toàn và hiệu quả.
- Xác định tính chất cấu trúc: Isomorphic Graphs được sử dụng để xác định tính chất cấu trúc của các đồ thị và mối quan hệ giữa các đỉnh. Điều này có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực như sinh học, hóa học, vật lý và kỹ thuật.
- Phân loại và nhận dạng: Xác định đồ thị đồng cấu giữa các đối tượng có thể được sử dụng để phân loại và nhận dạng các đối tượng trong các hệ thống thông tin phức tạp như hình ảnh, âm thanh, văn bản, và dữ liệu khác.
- Trực quan hóa dữ liệu: Các đồ thị đồng cấu có thể được sử dụng để trực quan hóa dữ liệu phức tạp và hỗ trợ phân tích và khám phá dữ liệu.
Đây chỉ là một số ứng dụng phổ biến của Isomorphic Graphs. Tùy thuộc vào lĩnh vực và ngữ cảnh cụ thể, có thể có nhiều ứng dụng khác của đồ thị đồng cấu.
