Gọi G là một tập khác rỗng với phép toán nhị phân * gán cho mỗi cặp có thứ tự (a, b) các phần tử của G một phần tử của G được ký hiệu là a * b. Chúng ta nói rằng G là một nhóm trong phép toán nhị phân * nếu ba thuộc tính sau được thỏa mãn:
- Tính kết hợp: Phép toán nhị phân * là phép toán liên kết, tức là a * (b * c) = (a * b) * c, ∀ a, b, c ∈ G
- Phần tử đơn vị: Có một phần tử e, được gọi là đồng dạng, trong G, sao cho a * e = e * a = a, ∀ a ∈ G
- Nghịch đảo: Với mỗi phần tử a trong G, có một phần tử b trong G, được gọi là nghịch đảo của a sao cho a * b = b * a = e, ∀ a, b ∈ G
Lưu ý: Nếu một nhóm có thuộc tính mà a * b = b * a tức là luật giao hoán nắm giữ thì nhóm đó được gọi là abelian.
Các bài viết liên quan:
Thuộc tính của Nhóm:
Các định lý sau đây có thể hiểu các tính năng cơ bản của Nhóm:
Định lý 1:
- Phát biểu: – Trong nhóm G, chỉ có một phần tử đơn vị (tính duy nhất của đồng dạng) Chứng minh: – Gọi e và e ‘là hai đồng dạng trong G và cho a ∈ G
∴ ae = a ⟶ (i)
∴ ae ‘= a ⟶ (ii)
R.H.S của (i) và (ii) bằng nhau ⇒ae = ae ‘
Do đó theo luật hủy bỏ bên trái, chúng ta thu được e = e ‘
Chỉ có một phần tử đồng nhất trong G với bất kỳ a ∈ G. Do đó định lý được chứng minh.
- Phát biểu: – Với mỗi phần tử a trong nhóm G, có một phần tử b duy nhất trong G sao cho ab = ba = e (tính duy nhất nếu nghịch đảo)
Chứng minh: – Cho b và c đều là nghịch đảo của a a∈ G
Khi đó ab = e và ac = e
∵ c = ce {tồn tại của phần tử nhận dạng}
⟹ c = c (ab) {∵ ab = e}
⟹ c = (c a) b
⟹ c = (ac) b {∵ ac = ca}
⟹ c = eb
⟹ c = b {∵ b = eb}
Do đó nghịch đảo của G là duy nhất.
Định lý 2:
- Phát biểu: – Trong nhóm G, (a-1) -1 = a, ∀ a∈ G
Chứng minh: Ta có a-1 = a-1 a = e
Trong đó e là phần tử nhận dạng của G
Do đó a là nghịch đảo của a-1∈ G
tức là, (a-1) -1 = a, ∀ a∈ G
- Phát biểu: Trong nhóm G, (a b-1) = b-1 a-1, ∀ a, b∈ G
Bằng chứng: – Bằng cách kết hợp, chúng tôi có
(b-1 a-1) ab = b-1 (a-1 a) b
⟹ (b-1 a-1) ab = b-1 (e) b {∵a-1 a = e}
⟹ (b-1 a-1) ab = b-1 b {∵eb = b}
⟹ (b-1 a-1) ab = e, {∵b-1 b = e}
Tương tự
(ab) (b-1 a-1) = a (b b-1) a-1
⟹ (ab) (b-1 a-1) = a (e) a-1
⟹ (ab) (b-1 a-1) = a a-1
⟹ (ab) (b-1 a-1) = e {∵aa-1 = e}
Do đó (b-1 a-1) ab = (ab) (b-1 a-1) = e
∴ b-1 a-1 là nghịch đảo của ab
tức là b-1 a-1 = a b-1
Do đó các định lý được chứng minh.
Định lý 3:
Trong nhóm G, luật hủy bỏ bên trái và bên phải được giữ nguyên, tức là
(i) ab = ac ngụ ý b = c
(ii) ba = ca ngụ ý b = c
Chứng minh:
(i) Cho ab = ac
Nhân lên trước a-1 ở cả hai bên, chúng tôi nhận được
a-1 (ab) = a-1 (ac)
⟹ (a-1a) b = (a-1 a) c
⟹eb = ec
⟹b = c
Do đó đã được chứng minh.
(ii) Cho ba = ca
Hậu nhân a-1 ở cả hai bên
⟹ (ba) a-1 = (ca) a-1
⟹b (aa-1) = c (aa-1)
⟹be = ce
⟹b = c
Do đó các định lý được chứng minh.
Nhóm hữu hạn và vô hạn
Một nhóm (G, *) được gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu hạn.
Một nhóm (G, *) được gọi là nhóm vô hạn nếu G là một tập hợp vô hạn.
Ví dụ 1: Nhóm (I, +) là nhóm vô hạn vì tập I gồm các số nguyên là tập vô hạn.
Ví dụ 2: Nhóm G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} theo modulo phép nhân 8 là một nhóm hữu hạn vì tập G là một tập hữu hạn.
Thứ tự của Nhóm:
Bậc của nhóm G là số phần tử của nhóm G. Được ký hiệu là | G |. Một nhóm bậc 1 chỉ có phần tử nhận dạng, tức là, ({e} *).
Một nhóm bậc 2 có hai phần tử, tức là một phần tử nhận dạng và một phần tử khác.
Ví dụ1: Cho ({e, x}, *) là một nhóm có bậc 2. Bảng hoạt động được hiển thị trong hình:
Nhóm thứ tự 3 có ba yếu tố, tức là một yếu tố nhận dạng và hai yếu tố khác.
