Rate this post

Gọi G là một tập khác rỗng với phép toán nhị phân * gán cho mỗi cặp có thứ tự (a, b) các phần tử của G một phần tử của G được ký hiệu là a * b. Chúng ta nói rằng G là một nhóm trong phép toán nhị phân * nếu ba thuộc tính sau được thỏa mãn:

  1. Tính kết hợp: Phép toán nhị phân * là phép toán liên kết, tức là a * (b * c) = (a * b) * c, ∀ a, b, c ∈ G
  1. Phần tử đơn vị: Có một phần tử e, được gọi là đồng dạng, trong G, sao cho a * e = e * a = a, ∀ a ∈ G
  1. Nghịch đảo: Với mỗi phần tử a trong G, có một phần tử b trong G, được gọi là nghịch đảo của a sao cho a * b = b * a = e, ∀ a, b ∈ G

Lưu ý: Nếu một nhóm có thuộc tính mà a * b = b * a tức là luật giao hoán nắm giữ thì nhóm đó được gọi là abelian.

Các bài viết liên quan:

Thuộc tính của Nhóm:

Các định lý sau đây có thể hiểu các tính năng cơ bản của Nhóm:

Định lý 1:

  1. Phát biểu: – Trong nhóm G, chỉ có một phần tử đơn vị (tính duy nhất của đồng dạng) Chứng minh: – Gọi e và e ‘là hai đồng dạng trong G và cho a ∈ G

∴ ae = a ⟶ (i)

∴ ae ‘= a ⟶ (ii)

R.H.S của (i) và (ii) bằng nhau ⇒ae = ae ‘

Do đó theo luật hủy bỏ bên trái, chúng ta thu được e = e ‘

Chỉ có một phần tử đồng nhất trong G với bất kỳ a ∈ G. Do đó định lý được chứng minh.

  1. Phát biểu: – Với mỗi phần tử a trong nhóm G, có một phần tử b duy nhất trong G sao cho ab = ba = e (tính duy nhất nếu nghịch đảo)

Chứng minh: – Cho b và c đều là nghịch đảo của a a∈ G

Khi đó ab = e và ac = e

∵ c = ce {tồn tại của phần tử nhận dạng}

⟹ c = c (ab) {∵ ab = e}

⟹ c = (c a) b

⟹ c = (ac) b {∵ ac = ca}

⟹ c = eb

⟹ c = b {∵ b = eb}

Do đó nghịch đảo của G là duy nhất.

Định lý 2:

  1. Phát biểu: – Trong nhóm G, (a-1) -1 = a, ∀ a∈ G

Chứng minh: Ta có a-1 = a-1 a = e

Trong đó e là phần tử nhận dạng của G

Do đó a là nghịch đảo của a-1∈ G

tức là, (a-1) -1 = a, ∀ a∈ G

  1. Phát biểu: Trong nhóm G, (a b-1) = b-1 a-1, ∀ a, b∈ G

Bằng chứng: – Bằng cách kết hợp, chúng tôi có

(b-1 a-1) ab = b-1 (a-1 a) b

⟹ (b-1 a-1) ab = b-1 (e) b {∵a-1 a = e}

⟹ (b-1 a-1) ab = b-1 b {∵eb = b}

⟹ (b-1 a-1) ab = e, {∵b-1 b = e}

Tương tự

(ab) (b-1 a-1) = a (b b-1) a-1

⟹ (ab) (b-1 a-1) = a (e) a-1

⟹ (ab) (b-1 a-1) = a a-1

⟹ (ab) (b-1 a-1) = e {∵aa-1 = e}

Do đó (b-1 a-1) ab = (ab) (b-1 a-1) = e

∴ b-1 a-1 là nghịch đảo của ab

tức là b-1 a-1 = a b-1

Do đó các định lý được chứng minh.

Định lý 3:

Trong nhóm G, luật hủy bỏ bên trái và bên phải được giữ nguyên, tức là

(i) ab = ac ngụ ý b = c

(ii) ba = ca ngụ ý b = c

Chứng minh:

(i) Cho ab = ac

Nhân lên trước a-1 ở cả hai bên, chúng tôi nhận được

        a-1 (ab) = a-1 (ac)

        ⟹ (a-1a) b = (a-1 a) c

        ⟹eb = ec

        ⟹b = c

Do đó đã được chứng minh.

(ii) Cho ba = ca

Hậu nhân a-1 ở cả hai bên

        ⟹ (ba) a-1 = (ca) a-1

        ⟹b (aa-1) = c (aa-1)

        ⟹be = ce

        ⟹b = c

Do đó các định lý được chứng minh.

Nhóm hữu hạn và vô hạn

Một nhóm (G, *) được gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu hạn.

Một nhóm (G, *) được gọi là nhóm vô hạn nếu G là một tập hợp vô hạn.

Ví dụ 1: Nhóm (I, +) là nhóm vô hạn vì tập I gồm các số nguyên là tập vô hạn.

Ví dụ 2: Nhóm G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} theo modulo phép nhân 8 là một nhóm hữu hạn vì tập G là một tập hữu hạn.

Thứ tự của Nhóm:

Bậc của nhóm G là số phần tử của nhóm G. Được ký hiệu là | G |. Một nhóm bậc 1 chỉ có phần tử nhận dạng, tức là, ({e} *).

Một nhóm bậc 2 có hai phần tử, tức là một phần tử nhận dạng và một phần tử khác.

Ví dụ1: Cho ({e, x}, *) là một nhóm có bậc 2. Bảng hoạt động được hiển thị trong hình:

Nhóm thứ tự 3 có ba yếu tố, tức là một yếu tố nhận dạng và hai yếu tố khác.

Leave a Reply

Call now
%d bloggers like this: