Trong chủ đề của logic mệnh đề, chúng ta đã thấy rằng làm thế nào để biểu diễn các câu lệnh bằng cách sử dụng logic mệnh đề. Nhưng thật không may, trong logic mệnh đề, chúng ta chỉ có thể biểu diễn các dữ kiện, đúng hoặc sai. PL không đủ để đại diện cho các câu phức tạp hoặc các câu ngôn ngữ tự nhiên. Logic mệnh đề có sức biểu đạt rất hạn chế. Hãy xem xét câu sau đây, câu mà chúng ta không thể biểu diễn bằng logic PL.
“Một số người thông minh”, hoặc
“Sachin thích cricket.”
Để biểu diễn các câu trên, logic PL là không đủ, vì vậy chúng tôi yêu cầu một số logic mạnh hơn, chẳng hạn như First-Order logic.
First-Order logic
First-Order logic là một cách biểu diễn tri thức khác trong trí tuệ nhân tạo. Nó là một phần mở rộng cho logic mệnh đề.
FOL đủ biểu đạt để thể hiện các tuyên bố ngôn ngữ tự nhiên một cách ngắn gọn.
First-Order logic còn được gọi là Logic vị từ hoặc Logic vị từ bậc nhất. First-Order logic là một ngôn ngữ mạnh mẽ giúp phát triển thông tin về các đối tượng một cách dễ dàng hơn và cũng có thể diễn đạt mối quan hệ giữa các đối tượng đó.
First-Order logic (giống như ngôn ngữ tự nhiên) không chỉ giả định rằng thế giới chứa các sự kiện như logic mệnh đề mà còn giả định những điều sau đây trong thế giới:
Đối tượng: A, B, người, số lượng, màu sắc, chiến tranh, lý thuyết, hình vuông, hố, wumpus, ……
Quan hệ: Nó có thể là quan hệ một ngôi như: đỏ, tròn, liền kề, hoặc quan hệ n-bất kỳ như: chị, em của, có màu, ở giữa
Chức năng: Cha của, bạn thân nhất, hiệp thứ ba, kết thúc, ……
Là một ngôn ngữ tự nhiên, First-Order logic cũng có hai phần chính:
- Cú pháp
- Ngữ nghĩa học
Cú pháp của First-Order logic
Cú pháp của FOL xác định tập hợp các ký hiệu nào là một biểu thức logic trong First-Order logic. Các yếu tố cú pháp cơ bản của First-Order logic là các ký hiệu. Chúng tôi viết các tuyên bố dưới dạng ký hiệu ngắn gọn trong FOL.
Các yếu tố cơ bản của First-Order logic:
Sau đây là các yếu tố cơ bản của cú pháp FOL:
Câu nguyên tử
Câu nguyên tử là những câu cơ bản nhất của First-Order logic. Những câu này được hình thành từ một ký hiệu vị ngữ theo sau bởi một dấu ngoặc đơn với một chuỗi các thuật ngữ.
Chúng ta có thể biểu diễn các câu nguyên tử dưới dạng Vị từ (term1, term2, ……, term n).
Ví dụ: Ravi và Ajay là anh em: => Brothers (Ravi, Ajay).
Chinky là một con mèo: => cat (Chinky).
Câu phức tạp
Câu phức được tạo ra bằng cách kết hợp các câu nguyên tử bằng cách sử dụng các phép nối.
Các câu lệnh First-Order logic có thể được chia thành hai phần:
- Chủ đề: Chủ đề là phần chính của câu.
- Vị từ: Vị từ có thể được định nghĩa là một quan hệ, liên kết hai nguyên tử với nhau trong một câu lệnh.
Hãy xem xét câu lệnh: “x là một số nguyên”, nó bao gồm hai phần, phần đầu tiên x là chủ đề của câu lệnh và phần thứ hai “là một số nguyên”, được gọi là một vị từ.
Bộ định lượng trong First-Order logic
Bộ định lượng là một yếu tố ngôn ngữ tạo ra định lượng và định lượng xác định số lượng mẫu vật trong vũ trụ diễn ngôn.
Đây là những ký hiệu cho phép xác định hoặc xác định phạm vi và phạm vi của biến trong biểu thức lôgic. Có hai loại định lượng:
- Universal Quantifier(cho tất cả mọi người, mọi thứ)
- Existential Quantifier(đối với một số, ít nhất một).
Universal Quantifier
Bộ định lượng phổ quát là một biểu tượng của biểu diễn logic, nó chỉ định rằng tuyên bố trong phạm vi của nó là đúng cho mọi thứ hoặc mọi trường hợp của một sự vật cụ thể.
Định lượng phổ quát được biểu diễn bằng ký hiệu ∀, giống như chữ A đảo ngược.
Lưu ý: Trong định lượng phổ quát, chúng ta sử dụng hàm ý “→”.
Nếu x là một biến, thì ∀x được đọc là:
- Đối với tất cả x
- Đối với mỗi x
- Với mọi x.
Ví dụ:
Tất cả mọi người đều uống cà phê.
Đặt một biến x tham chiếu đến một con mèo để tất cả x có thể được biểu diễn trong UOD như sau:
∀x man (x) → drink (x, cà phê).
Nó sẽ được đọc là: Có tất cả x trong đó x là một người đàn ông uống cà phê.
Existential Quantifier
Các định lượng hiện sinh là loại định lượng, thể hiện rằng tuyên bố trong phạm vi của nó là đúng cho ít nhất một trường hợp của một cái gì đó.
Nó được biểu thị bằng toán tử logic ∃, tương tự như đảo ngược E. Khi nó được sử dụng với một biến vị từ thì nó được gọi là một định lượng tồn tại.
Lưu ý: Trong định lượng hiện sinh, chúng ta luôn sử dụng ký hiệu AND hoặc Conjunction (∧).
Nếu x là một biến, thì định lượng tồn tại sẽ là ∃x hoặc ∃ (x). Và nó sẽ được đọc là:
- Tồn tại một ‘x.’
- Đối với một số ‘x.’
- Đối với ít nhất một ‘x.’
Ví dụ:
Một số cậu bé thông minh.
∃x: bé trai (x) ∧ thông minh (x)
Nó sẽ được đọc là: Có một số x ở đây x là một cậu bé thông minh.
Những điểm cần nhớ:
- Liên kết chính cho định lượng phổ quát ∀ là hàm ý →.
- Liên kết chính cho định lượng hiện sinh ∃ là và ∧.
Thuộc tính của bộ định lượng:
- Trong định lượng phổ quát, ∀x∀y tương tự như ∀y∀x.
- Trong định lượng hiện sinh, ∃x∃y tương tự như ∃y∃x.
- ∃x∀y không tương tự như ∀y∃x.
Một số ví dụ về FOL sử dụng bộ định lượng
1. Tất cả các loài chim đều bay.
Trong câu hỏi này, vị ngữ là “bay (chim).”
Và vì có tất cả các loài chim bay nên nó sẽ được biểu diễn như sau.
∀x chim (x) → bay (x).
2. Mỗi người đàn ông đều kính trọng cha mẹ của mình.
Trong câu hỏi này, vị từ là “tôn trọng (x, y)”, trong đó x = người đàn ông và y = phụ huynh.
Vì có mỗi người đàn ông sẽ sử dụng ∀, và nó sẽ được biểu diễn như sau:
∀x man (x) → tôn trọng (x, cha mẹ).
3. Một số cậu bé chơi cricket.
Trong câu hỏi này, vị ngữ là “play (x, y)”, trong đó x = boys và y = game. Vì có một số chàng trai nên chúng tôi sẽ sử dụng ∃, và nó sẽ được đại diện là:
∃x bé trai (x) → chơi (x, cricket).
4. Không phải tất cả học sinh đều thích cả Toán và Khoa học.
Trong câu hỏi này, vị từ là “like (x, y)”, trong đó x = student và y = subject.
Vì không phải tất cả học sinh, vì vậy chúng tôi sẽ sử dụng ∀ với phủ định, vì vậy biểu diễn sau cho điều này:
¬∀ (x) [học sinh (x) → như (x, Toán học) ∧ thích (x, Khoa học)].
5. Chỉ có một học sinh thi trượt môn Toán.
Trong câu hỏi này, vị từ là “fail (x, y)”, trong đó x = student và y = subject.
Vì chỉ có một học sinh không đạt môn Toán, nên chúng tôi sẽ sử dụng cách biểu diễn sau cho điều này:
∃ (x) [học sinh (x) → không đạt (x, Toán học) ∧∀ (y) [¬ (x == y) ∧ học sinh (y) → ¬ không đạt (x, Toán học)].
Các biến miễn phí và ràng buộc:
Các bộ định lượng tương tác với các biến xuất hiện theo cách phù hợp. Có hai loại biến trong First-Order logic được đưa ra dưới đây:
Biến tự do: Một biến được cho là biến tự do trong công thức nếu nó xuất hiện bên ngoài phạm vi của bộ định lượng.
Ví dụ: ∀x ∃ (y) [P (x, y, z)], trong đó z là biến tự do.
Biến ràng buộc: Một biến được cho là một biến bị ràng buộc trong công thức nếu nó xuất hiện trong phạm vi của bộ định lượng.
Ví dụ: ∀x [A (x) B (y)], ở đây x và y là các biến bị ràng buộc.
