Rate this post

Homogeneous Linear Difference Equations và cách giải cụ thể:

Chúng ta có thể tìm nghiệm cụ thể của phương trình sai phân khi phương trình thuộc loại tuyến tính thuần nhất bằng cách đặt các giá trị của điều kiện ban đầu vào nghiệm thuần nhất.

Các bài viết liên quan:

Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân:

và tìm các nghiệm cụ thể sao cho a0 = 0 và a1 = 1.

Giải: Phương trình đặc điểm là

Do đó, nghiệm thuần nhất của phương trình được cho bởi

Đặt r = 0 và r = 1 vào phương trình (i), chúng ta nhận được

Giải eq (a) và (b), ta có

Do đó, giải pháp cụ thể là

Ví dụ 2: Giải phương trình sai phân

và tìm các nghiệm cụ thể sao cho a0 = 0 và a1 = 6.

Giải: Phương trình đặc điểm là

Do đó, nghiệm thuần nhất của phương trình được cho bởi

Đặt r = 0 và r = 1 vào phương trình (i), chúng ta nhận được

Do đó, giải pháp cụ thể là

Ví dụ 3: Giải phương trình sai phân

thỏa mãn điều kiện a0 = 0 và a1 = 2.

Giải: Phương trình đặc điểm là

Do đó, nghiệm thuần nhất của phương trình được cho bởi

Đặt r = 0 và r = 1 vào phương trình (i), chúng ta nhận được

Do đó, giải pháp cụ thể là

Non-Homogeneous Linear Difference Equations và cách giải cụ thể:

Có hai phương pháp để tìm nghiệm cụ thể của một phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Những điều này như sau:

Undetermined Coefficients Method
E và ∆ operator method

Undetermined Coefficients Method: Phương pháp này được sử dụng để tìm một nghiệm cụ thể của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất, có số hạng R.H.S R (n) bao gồm các số hạng có dạng đặc biệt.

Trong phương pháp này, trước hết chúng ta giả sử dạng tổng quát của các nghiệm cụ thể theo kiểu R (n) chứa một số hệ số hằng số chưa biết, cần phải xác định. Sau đó theo phương trình sai phân ta sẽ xác định được nghiệm chính xác.

Dạng tổng quát của một nghiệm cụ thể được giả định cho các dạng đặc biệt của R (n), để tìm nghiệm chính xác được trình bày phía dưới.

Z, ở đây z là hằng số A
Zr, ở đây z là hằng số Zr
P (r), đa thức bậc n A0 rn + A1 rn-1 + ⋯ ..An
Zr. P (r), ở đây P (r) là đa thức bậc n trong r. Z là hằng số. [A0 rn + A1 rn-1 + ⋯ ..An] .Zr

Ví dụ 1: Tìm nghiệm cụ thể của phương trình sai phân

Trong đó Z là một số hằng số.

Giải: Dạng tổng quát của nghiệm là = A. Zr

Bây giờ đặt giải pháp này trên L.H.S của phương trình (i), chúng ta nhận được

Lập phương trình (ii) với R.H.S của phương trình (i), ta được

Do đó, giải pháp cụ thể là

Ví dụ 2: Tìm nghiệm cụ thể của phương trình sai phân

Giải: Giả sử dạng tổng quát của nghiệm = A. 5r.

Bây giờ để tìm giá trị của A, hãy đặt nghiệm này trên L.H.S của phương trình (i), sau đó nó trở thành

Lập phương trình (ii) thành R.H.S của phương trình (i), chúng ta nhận được

Do đó, nghiệm cụ thể của phương trình sai phân là

Ví dụ 3: Tìm nghiệm cụ thể của phương trình sai phân

Giải: Giả sử dạng tổng quát của nghiệm

Bây giờ, đặt các nghiệm này vào L.H.S của phương trình (i), chúng ta nhận được

Lập phương trình (ii) với R.H.S của phương trình (i), ta được

Do đó, giải pháp cụ thể là

Toán tử E và ∆ Phương pháp:

Định nghĩa Toán tử E: Toán tử của E trên f (x) có nghĩa là cung cấp một số gia cho giá trị của x trong t

anh ta hoạt động. Hoạt động của E là, đặt (x + h) trong hàm bất cứ nơi nào có x. Ở đây h là đại lượng tăng dần. Vậy Ef (x) = f (x + h)

Ở đây, E được vận hành trên f (x), do đó, E là một ký hiệu được gọi là toán tử dịch chuyển.

Định nghĩa Toán tử∆: Phép toán ∆ là một phép toán gồm hai bước.

Đầu tiên, x trong hàm được tăng lên bởi một hằng số và sau đó giá trị cũ bị trừ đi giá trị sau đó, tức là

∆f (x) = f (x + h) -f (x)

Định lý1: Chứng minh rằng E ≅1 + ∆.

Chứng minh: Phép toán của ∆ trên f (x) có hai bước. Đầu tiên, tăng giá trị của x trong hàm. Vì vậy, bất cứ khi nào, có x trong f (x) đặt x + h (ở đây h là gia số không đổi), có nghĩa là hoạt động của E trên f (x), tức là,

f (x + h) = Ef (x).

Thứ hai, trừ hàm gốc khỏi giá trị thu được trong bước đầu tiên, do đó

∆f (x) = Ef (x) -1f (x) = (E-1) f (x)

Vì vậy, hoạt động của ∆ trên f (x) tương đương với hoạt động của (E-1) trên f (x).

Do đó, chúng tôi có

E ≅1 + ∆.

Định lý 2: Chứng tỏ rằng En f (x) = f (x + nh).

Chứng minh: Ta biết rằng E f (x) = f (x + h)

Định lý 3: Chứng tỏ rằng E Cf (x) = CE f (x)

Chứng minh: Ta biết rằng E C f (x) = C f (x + h) = CE f (x + h). Do đó đã được chứng minh.

Không có ảnh hưởng của hoạt động của E đối với bất kỳ hằng số nào. Do đó, hoạt động của E trên bất kỳ hằng số nào sẽ bằng chính hằng số đó.

Bằng phương pháp toán tử E và ∆, chúng ta sẽ tìm ra nghiệm của

Phương trình (i) có thể được viết dưới dạng

Vậy

Để tìm nghiệm cụ thể của (ii) cho các dạng khác nhau của R (n), chúng ta có các trường hợp sau.

Trường hợp1: Khi R (n) là một hằng số A nào đó.

Chúng ta biết rằng, hoạt động của E trên bất kỳ hằng số nào sẽ bằng chính hằng số đó, tức là

EA = A

Do đó,

Do đó, sử dụng phương trình (ii), nghiệm cụ thể của (i) là

P (1) thu được bằng cách đặt E = 1 vào P (E).

Trường hợp2: Khi R (n) có dạng A. Zn, trong đó A và Z là hằng số

Ta có,

Để có được, P (Z) đặt E = Z trong P (E)

Do đó,

với điều kiện P (Z) ≠ 0

Do đó

Nếu A = 1, thì

Khi P (Z) = 0 thì phương trình

Đối với trường hợp này, dung cụ thể trở thành

Đối với điều này, giải pháp cụ thể trở thành

Trường hợp 3: Khi R (n) là đa thức bậc m thì n.

Chúng ta biết rằng E≅1 + ∆

Vì vậy, P (E) = P (1 + ∆)

Có thể được mở rộng theo lũy thừa tăng dần của ∆ đến tối đa là ∆m

Tất cả các số hạng cao hơn khác sẽ bằng 0 vì R (n) là đa thức bậc m.

Do đó, nghiệm cụ thể của phương trình (i), trong trường hợp này sẽ là

Trường hợp 4: Khi R (n) có dạng R (n) .Zn, trong đó R (n) là đa thức bậc m và Z là hằng số

Ta có

Tương tự, chúng ta có

Do đó, nghiệm cụ thể của phương trình (i), trong trường hợp này sẽ là

Ví dụ 1: Tìm nghiệm cụ thể của phương trình sai phân

Lời giải: Phương trình trên có thể được viết dưới dạng

Giải pháp cụ thể được đưa ra bởi

Đặt E = 1, vào phương trình. Kết quả là

Ví dụ 2: Tìm nghiệm cụ thể của phương trình sai phân

Lời giải: Phương trình trên có thể được viết dưới dạng

Do đó,

Giải pháp tổng thể

Nghiệm tổng hay nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi là tổng của nghiệm thuần nhất và một nghiệm cụ thể. Nếu không có điều kiện ban đầu nào được đưa ra, thu được n phương trình tuyến tính với n ẩn số và giải chúng, nếu có thể để nhận được tổng nghiệm.

Nếu y (h) biểu thị nghiệm thuần nhất của quan hệ lặp lại và y (p) biểu thị nghiệm cụ thể của quan hệ tái diễn thì nghiệm tổng hoặc nghiệm tổng quát y của quan hệ tái diễn được cho bởi