- Relations phản xạ: Một Relations R trên tập A được cho là một Relations phản xạ nếu (a, a) ∈ R với mọi a ∈ A.
Ví dụ: Nếu A = {1, 2, 3, 4} thì R = {(1, 1) (2, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}. Một Relations có phản xạ không?
Lời giải: Relations là phản xạ khi với mọi a ∈ A. (a, a) ∈ R, tức là (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R.
Các bài viết liên quan:
- Relations không phản xạ: Một Relations R trên tập A được cho là không linh hoạt nếu (a, a) ∉ R với mọi a ∈ A.
Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3} và R = {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (1, 3)}. Relations R là phản xạ hay không phản xạ?
Lời giải: Relations R không phản xạ vì với mọi a ∈ A, (a, a) ∉ R, tức là, (1, 1) và (3, 3) ∉ R. Relations R không phải là không phản xạ vì (a, a ) ∉ R, với một số a ∈ A, tức là, (2, 2) ∈ R.
- Relations đối xứng: Một Relations R trên tập A được cho là đối xứng iff (a, b) ∈ R ⟺ (b, a) ∈ R.
Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3} và R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2 )}. Một Relations R có đối xứng hay không?
Lời giải: Relations là đối xứng vì với mọi (a, b) ∈ R, ta có (b, a) ∈ R, tức là, (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) ∈ R nhưng không phản xạ vì (3, 3) ∉ R.
Ví dụ về Relations đối xứng:
Relations ⊥r là đối xứng vì đường thẳng a là ⊥r đến b, thì b là ⊥r với a.
Ngoài ra, Parallel là đối xứng, vì nếu đường thẳng a là ∥ đến b thì b cũng là ∥ với a.
Relations đối xứng: Một Relations R trên tập A là phản đối xứng iff (a, b) ∈ R và (b, a) ∈ R thì a = b.
Ví dụ 1: Cho A = {1, 2, 3} và R = {(1, 1), (2, 2)}. Relations R có phải là phản đối xứng không?
Lời giải: Relations R là phản đối xứng a = b khi (a, b) và (b, a) cùng thuộc R.
Ví dụ 2: Cho A = {4, 5, 6} và R = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (4, 6)}. Relations R có phải là phản đối xứng không?
Lời giải: Relations R không đối xứng là 4 ≠ 5 nhưng (4, 5) và (5, 4) đều thuộc R.
Relations không đối xứng: Relations R trên tập A được gọi là Relations không đối xứng nếu với mọi (a, b) ∈ R ngụ ý rằng (b, a) không thuộc R.
Relations bắc cầu: Một Relations R trên tập A được cho là bắc cầu iff (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R ⟺ (a, c) ∈ R.
Ví dụ 1: Cho A = {1, 2, 3} và R = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)}. Relations có bắc cầu không?
Giải: Relations R có tính bắc cầu vì với mọi (a, b) (b, c) thuộc R, ta có (a, c) ∈ R tức là, (1, 2) (2, 1) ∈ R ⇒ (1 , 1) ∈ R.
Lưu ý 1: Relations ≤, ⊆ và / có tính bắc cầu, tức là a ≤ b, b ≤ c thì a ≤ c
(ii) Cho a ⊆ b, b ⊆ c thì a ⊆ c
(iii) Cho a / b, b / c thì a / c.
Lưu ý 2: ⊥r không có tính bắc cầu vì a ⊥r b, b ⊥r c thì a ⊥r c không đúng. Vì không có dòng nào là ∥ với chính nó, chúng ta có thể có a ∥ b, b ∥ a nhưng a ∦ a.
Do đó ∥ không có tính bắc cầu, nhưng nó sẽ có tính bắc cầu trong mặt phẳng.
- Relations nhận dạng: Relations nhận dạng I trên tập A là phản xạ, bắc cầu và đối xứng. Vì vậy, Relations nhận dạng I là một Relations tương đương.
Ví dụ: A = {1, 2, 3} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
- Relations Void: Nó được cho bởi R: A → B sao cho R = ∅ (⊆ A x B) là một Relations rỗng. Void Relation R = ∅ là đối xứng và bắc cầu nhưng không phản xạ.
- Relations phổ quát: Relations R: A → B sao cho R = A x B (⊆ A x B) là Relations phổ quát. Relations phổ quát từ A → B là phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Vì vậy, đây là một Relations tương đương.
