Binary Operation

Xét một tập không rỗng A và hàm α f: AxA → A được gọi là một phép toán nhị phân trên A. Nếu * là một phép toán nhị phân trên A, thì nó có thể được viết dưới dạng a * b.

Một phép toán nhị phân có thể được biểu thị bằng bất kỳ ký hiệu nào trong số các ký hiệu +, -, *, ⨁, △, ⊡, ∨, ∧, v.v.

Các bài viết liên quan:

• Các operation trên File
• Thế nào là hệ thống số nhị phân
• Địa chỉ nhị phân của bộ nhớ máy tính trong hệ điều hành
• Cây nhị phân và tìm kiếm cây nhị phân
• Binary Trees

Giá trị của phép toán nhị phân được biểu thị bằng cách đặt toán tử giữa hai toán hạng.

Ví dụ:

1. Phép toán của phép cộng là một phép toán nhị phân trên tập hợp các số tự nhiên.
2. Operation của phép trừ là một phép toán nhị phân trên tập hợp các số nguyên. Nhưng, phép toán của phép trừ không phải là phép toán nhị phân trên tập hợp các số tự nhiên vì phép trừ hai số tự nhiên có thể là một số tự nhiên hoặc không.
3. Phép nhân là phép toán nhị phân trên tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên và tập hợp số phức.
4. Operation của liên hợp tập hợp là một Binary Operation trên tập hợp các tập con của một tập hợp Phổ quát. Tương tự, phép toán của giao của tập hợp là một phép toán nhị phân trên tập các tập con của một tập phổ quát.

Định nghĩa Binary Operation

Binary Operation là một phép toán trong toán học mà nó thực hiện trên hai đối tượng (hoặc phần tử) và trả về một giá trị mới. Đối tượng hoặc phần tử được tham gia vào phép toán được gọi là các toán hạng.

Một Binary Operation được ký hiệu bằng một biểu tượng hoặc một ký hiệu toán học đặc biệt, thường được đặt giữa hai toán hạng. Ví dụ: + (phép cộng), – (phép trừ), × (phép nhân) và ÷ (phép chia) là các Binary Operation phổ biến.

Để một phép toán được coi là Binary Operation, nó phải thỏa mãn hai yêu cầu chính:

1. Phải có hai toán hạng: Binary Operation thực hiện trên đúng hai đối tượng, không nhiều hơn hay ít hơn.
2. Phải có một quy tắc xác định: Binary Operation phải có một quy tắc xác định để xác định kết quả của phép toán trên hai toán hạng. Quy tắc này có thể là một biểu thức, một bảng giá trị, hoặc một định nghĩa số học cụ thể.

Binary Operation được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học, bao gồm đại số, lý thuyết tập hợp, lý thuyết đồ thị, mật mã học, khoa học máy tính và nhiều lĩnh vực khác.

Tính chất của Binary Operation

Binary Operation có một số tính chất quan trọng. Dưới đây là một số tính chất phổ biến của Binary Operation:

1. Phép kết hợp (Associativity): Binary Operation thường có tính chất phép kết hợp, tức là kết quả của phép toán không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện. Điều này có nghĩa là (a * b) * c = a * (b * c), trong đó * đại diện cho Binary Operation và a, b, c là các toán hạng.
2. Phần tử đơn vị (Identity Element): Một Binary Operation có thể có một phần tử đơn vị, tức là một giá trị đặc biệt khi thực hiện phép toán với phần tử đó sẽ không thay đổi giá trị ban đầu của phần tử. Ví dụ, trong phép cộng, số 0 là phần tử đơn vị vì a + 0 = a với mọi số a.
3. Tính chất đảo ngược (Inverse Property): Một Binary Operation có thể có tính chất đảo ngược, tức là mỗi phần tử có thể có một phần tử đảo ngược tương ứng khi được thực hiện phép toán. Ví dụ, trong phép trừ, phần tử đảo ngược của số a là -a vì a – (-a) = a.
4. Tính chất giao hoán (Commutativity): Một số Binary Operation có tính chất giao hoán, tức là thứ tự của các toán hạng không ảnh hưởng đến kết quả. Ví dụ, trong phép cộng, a + b = b + a với mọi số a và b.
5. Tính chất hạn chế (Closure Property): Binary Operation có tính chất hạn chế khi kết quả của phép toán trên các toán hạng thuộc vào tập hợp ban đầu. Nếu mọi toán hạng đều thuộc vào tập hợp ban đầu, thì ta nói Binary Operation đó đóng trên tập hợp.

Tính chất của Binary Operation có thể thay đổi tùy thuộc vào loại phép toán cụ thể và tập hợp mà nó được áp dụng. Tuy nhiên, những tính chất trên là những tính chất chung và quan trọng mà ta thường gặp khi nghiên cứu Binary Operation.

Các loại Binary Operation

Binary Operation có thể được phân loại thành một số loại khác nhau dựa trên tính chất và quy tắc xác định của chúng. Dưới đây là một số loại phổ biến của Binary Operation:

1. Phép cộng (Addition): Phép cộng là một Binary Operation phổ biến, thực hiện trên hai số và trả về tổng của chúng. Ví dụ: 2 + 3 = 5.
2. Phép trừ (Subtraction): Phép trừ cũng là một Binary Operation, thực hiện trên hai số và trả về hiệu của chúng. Ví dụ: 7 – 4 = 3.
3. Phép nhân (Multiplication): Phép nhân là một Binary Operation, thực hiện trên hai số và trả về tích của chúng. Ví dụ: 5 * 6 = 30.
4. Phép chia (Division): Phép chia cũng là một Binary Operation, thực hiện trên hai số và trả về thương của chúng. Ví dụ: 12 ÷ 3 = 4.
5. Phép modulo (Modulo): Phép modulo là một Binary Operation, thực hiện trên hai số và trả về phần dư của phép chia. Ví dụ: 7 % 3 = 1.
6. Phép luỹ thừa (Exponentiation): Phép luỹ thừa là một Binary Operation, thực hiện trên hai số và trả về lũy thừa của số cơ số với số mũ. Ví dụ: 2^3 = 8.
7. Phép tương đương (Equivalence): Phép tương đương là một Binary Operation, thực hiện so sánh hai đối tượng và trả về giá trị true nếu chúng tương đương, ngược lại trả về giá trị false. Ví dụ: 5 = 5.
8. Phép so sánh (Comparison): Phép so sánh là một Binary Operation, thực hiện so sánh hai số và trả về giá trị true hoặc false dựa trên một quy tắc so sánh cụ thể như lớn hơn, nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng, nhỏ hơn hoặc bằng, v.v. Ví dụ: 8 > 3.

Các loại Binary Operation trên là chỉ một số ví dụ phổ biến. Trong thực tế, còn rất nhiều loại Binary Operation khác, phụ thuộc vào lĩnh vực và ngữ cảnh ứng dụng của chúng.

Xem thêm Traversing Binary Trees

Operation N-ARY:

Một hàm f: AxAx …………. A → A được gọi là một phép toán n-ary.

Bảng Operation:

Xét tập hữu hạn không rỗng A = {a1, a2, a3, …. an}. Một phép toán nhị phân * trên A có thể được mô tả bằng bảng như trong hình:

Khoảng trống ở hàng thứ j và cột thứ k thể hiện các phần tử aj * ak.

Ví dụ: Xét tập A = {1, 2, 3} và một phép toán nhị phân * trên tập A được xác định bởi a * b = 2a + 2b.

Biểu diễn Operation * dưới dạng bảng trên A.

Giải pháp: Bảng Operation được hiển thị trong hình:

Xem thêm Binary Search Trees

Các ứng dụng của Binary Operation

Binary Operation có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Dưới đây là một số ứng dụng phổ biến của Binary Operation:

1. Toán học: Binary Operation là một khái niệm cốt lõi trong toán học và được sử dụng rộng rãi trong đại số, lý thuyết tập hợp, lý thuyết đồ thị và các lĩnh vực khác của toán học. Ví dụ: phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia là các Binary Operation cơ bản trong toán học.
2. Lập trình: Binary Operation là một phần quan trọng trong lập trình. Nó được sử dụng để thực hiện các phép tính và so sánh giữa các giá trị trong các ngôn ngữ lập trình. Ví dụ: toán tử +, -, *, / trong các ngôn ngữ như Java, C++, Python đều là Binary Operation.
3. Cơ sở dữ liệu: Binary Operation được sử dụng trong truy vấn cơ sở dữ liệu để thực hiện các phép toán như UNION, INTERSECT, DIFFERENCE giữa các tập hợp dữ liệu.
4. Mật mã học: Binary Operation được sử dụng trong mật mã học để thực hiện các phép toán mã hóa và giải mã. Ví dụ: XOR (eXclusive OR) là một Binary Operation phổ biến được sử dụng trong mã hóa thông tin.
5. Xử lý ảnh và âm thanh: Binary Operation được sử dụng trong xử lý ảnh và âm thanh để thực hiện các phép biến đổi và phân tích dữ liệu. Ví dụ: AND, OR, XOR được sử dụng để xử lý các hình ảnh nhị phân.
6. Mạng máy tính: Binary Operation được sử dụng trong các phép toán mạng như AND, OR, XOR để thực hiện các phép logic và điều khiển truyền thông dữ liệu giữa các thiết bị mạng.
7. Logic học: Binary Operation là cơ sở của logic học, nơi các phép toán logic như AND, OR, XOR được sử dụng để xây dựng biểu thức logic và tạo ra các bảng chân trị.

Các ứng dụng của Binary Operation không chỉ giới hạn trong các lĩnh vực trên, mà còn tồn tại trong nhiều lĩnh vực khác như điện tử, trò chơi, trí tuệ nhân tạo và nhiều lĩnh vực công nghệ và khoa học khác.

Xem thêm binary search trong c++