Các tập hợp trong phép toán hợp nhất, giao nhau và Sets sung thỏa mãn các luật khác nhau (danh tính) được liệt kê trong.
Các bài viết liên quan:
Ví dụ 1: Chứng minh các định luật Idempotent:
(a) A ∪ A = A Vì, B ⊂ A ∪ B, do đó A ⊂ A ∪ A Cho x ∈ A ∪ A ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ A ⇒ x ∈ A ∴ A ∪ A ⊂ A Vì A ∪ A ⊂ A và A ⊂ A ∪ A ⇒ A = A ∪ A. Do đó đã được chứng minh.
(b) A ∩ A = A Vì, A ∩ B ⊂ B, do đó A ∩ A ⊂ A Cho x ∈ A ⇒ x ∈ A và x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩ A ∴ A ⊂ A ∩ A Vì A ∩ A ⊂ A và A ⊂ A ∩ A ⇒ A = A ∩ A. Do đó đã được chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh các định luật liên kết:
(a) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Cho một số x ∈ (A'∪ B) ∪ C ⇒ (x ∈ A hoặc x ∈ B) hoặc x ∈ C ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B hoặc x ∈ C ⇒ x ∈ A hoặc (x ∈ B hoặc x ∈ C) ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B ∪ C ⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C). Tương tự, nếu một số x ∈ A ∪ (B ∪ C), thì x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Do đó, bất kỳ x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Do đó đã chứng minh.
(b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Cho một số x ∈ A ∩ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A và x ∈ B ∩ C ⇒ x ∈ A và (x ∈ B và x ∈ C) ⇒ x ∈ A và x ∈ B và x ∈ C ⇒ (x ∈ A và x ∈ B) và x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∩ B và x ∈ C ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∩ C. Tương tự, nếu một số x ∈ A ∩ (B ∩ C), thì x ∈ (A ∩ B) ∩ C Như vậy, x ∈ (A ∩ B) ∩ C ⇔ x ∈ A ∩ (B ∩ C) bất kỳ. Do đó đã được chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh các định luật giao hoán
(a) A ∪ B = B ∪ A
Để chứng minh
A ∪ B = B ∪ A
A ∪ B = {x: x ∈ A hoặc x ∈ B}
= {x: x ∈ B hoặc x ∈ A} (∵ Thứ tự không được bảo toàn trong trường hợp tập hợp)
A ∪ B = B ∪ A. Do đó đã chứng minh.
(b) A ∩ B = B ∩ A
Để chứng minh
A ∩ B = B ∩ A
A ∩ B = {x: x ∈ A và x ∈ B}
= {x: x ∈ B và x ∈ A} (∵ Thứ tự không được bảo toàn trong trường hợp tập hợp)
A ∩ B = B ∩ A. Do đó đã chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh các định luật phân tán
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Để chứng minh
Cho x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B ∩ C
⇒ (x ∈ A hoặc x ∈ A) hoặc (x ∈ B và x ∈ C)
⇒ (x ∈ A hoặc x ∈ B) và (x ∈ A hoặc x ∈ C)
⇒ x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Do đó, A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ............ (i)
Một lần nữa, Cho y ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇒ y ∈ A ∪ B và y ∈ A ∪ C
⇒ (y ∈ A hoặc y ∈ B) và (y ∈ A hoặc y ∈ C)
⇒ (y ∈ A và y ∈ A) hoặc (y ∈ B và y ∈ C)
⇒ y ∈ A hoặc y ∈ B ∩ C
⇒ y ∈ A ∪ (B ∩ C)
Do đó, (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C) ............ (ii)
Kết hợp (i) và (ii), ta được A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Do đó đã được chứng minh
(b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Để chứng minh
Cho x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A và x ∈ B ∪ C
⇒ (x ∈ A và x ∈ A) và (x ∈ B hoặc x ∈ C)
⇒ (x ∈ A và x ∈ B) hoặc (x ∈ A và x ∈ C)
⇒ x ∈ A ∩ B hoặc x ∈ A ∩ C
⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∪ C)
Do đó, A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∪ C) ............ (i)
Một lần nữa, Cho y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∪ C) ⇒ y ∈ A ∩ B hoặc y ∈ A ∩ C
⇒ (y ∈ A và y ∈ B) hoặc (y ∈ A và y ∈ C)
⇒ (y ∈ A hoặc y ∈ A) và (y ∈ B hoặc y ∈ C)
⇒ y ∈ A và y ∈ B ∪ C
⇒ y ∈ A ∩ (B ∪ C)
Do đó, (A ∩ B) ∪ (A ∪ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C) ............ (ii)
Kết hợp (i) và (ii), ta được A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∪ C). Do đó đã được chứng minh
Ví dụ 5: Chứng minh định luật De Morgan
(A ∪B) c = Ac∩ Bc
Để chứng minh (A ∪B) c = Ac∩ Bc
Cho x ∈ (A ∪B) c ⇒ x ∉ A ∪ B (∵ a ∈ A ⇔ a ∉ Ac)
⇒ x ∉ A và x ∉ B
⇒ x ∉ Ac và x ∉ Bc
⇒ x ∉ Ac∩ Bc
Do đó, (A ∪B) c ⊂ Ac∩ Bc ............. (i)
Một lần nữa, cho x ∈ Ac∩ Bc ⇒ x ∈ Ac và x ∈ Bc
⇒ x ∉ A và x ∉ B
⇒ x ∉ A ∪ B
⇒ x ∈ (A ∪B) c
Do đó, Ac∩ Bc ⊂ (A ∪B) c ............. (ii)
Kết hợp (i) và (ii), ta được Ac∩ Bc = (A ∪B) c. Do đó đã được chứng minh.
(A ∩B) c = Ac∪ Bc
Cho x ∈ (A ∩B) c ⇒ x ∉ A ∩ B (∵ a ∈ A ⇔ a ∉ Ac)
⇒ x ∉ A hoặc x ∉ B
⇒ x ∈ Ac và x ∈ Bc
⇒ x ∈ Ac∪ Bc
∴ (A ∩B) c⊂ (A ∪B) c .................. (i)
Một lần nữa, Cho x ∈ Ac∪ Bc ⇒ x ∈ Ac hoặc x ∈ Bc
⇒ x ∉ A hoặc x ∉ B
⇒ x ∉ A ∩ B
⇒ x ∈ (A ∩B) c
∴ Ac∪ Bc⊂ (A ∩B) c .................... (ii)
Kết hợp (i) và (ii), ta được (A ∩B) c = Ac∪ Bc. Do đó đã được chứng minh.
Ví dụ 6: Chứng minh các định luật đồng nhất.
A ∪ ∅ = A
Để chứng minh A ∪ ∅ = A
Cho x ∈ A ∪ ∅ ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ ∅
⇒ x ∈ A (∵x ∈ ∅, vì ∅ là tập rỗng)
Do đó, x ∈ A ∪ ∅ ⇒ x ∈ A
Do đó, A ∪ ∅ ⊂ A.
Ta biết rằng A ⊂ A ∪ B với tập B bất kỳ.
Nhưng đối với B = ∅, chúng ta có A ⊂ A
∪ ∅
Từ trên ta có A ⊂ A ∪ ∅, A ∪ ∅ ⊂ A ⇒ A = A ∪ ∅. Do đó đã được chứng minh.
A ∩ ∅ = ∅ Để chứng minh A ∩ ∅ = ∅ Nếu x ∈ A thì x ∉ ∅ (∵∅ là tập rỗng) Do đó, x ∈ A, x ∉ ∅ ⇒ A ∩ ∅ = ∅. Do đó đã được chứng minh.
A ∪ U = U
Để chứng minh A ∪ U = U
Mọi tập hợp là một tập hợp con của tập hợp phổ quát.
∴ A ∪ U ⊆ U
Ngoài ra, U ⊆ A ∪ U
Do đó, A ∪ U = U. Do đó đã chứng minh.
A ∩ U = A Để chứng minh A ∩ U = A Chúng tôi biết A ∩ U ⊂ A ................. (i) Vì vậy, chúng ta phải chứng minh rằng A ⊂ A ∩ U Cho x ∈ A ⇒ x ∈ A và x ∈ U (∵ A ⊂ U nên x ∈ A ⇒ x ∈ U) ∴ x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩ Ư ∴ A ⊂ A ∩ Ư ................. (ii) Từ (i) và (ii), ta được A ∩ U = A. Do đó đã chứng minh.
Ví dụ 7: Chứng minh các định luật Sets bổ sung
A ∪ Ac = U
Để chứng minh A ∪ Ac = U
Mọi tập hợp là một tập hợp con của U
∴ A ∪ Ac ⊂ U .................. (i)
Chúng ta phải chứng minh rằng U ⊆ A ∪ Ac
Cho x ∈ Ư ⇒ x ∈ A hoặc x ∉ A
⇒ x ∈ A hoặc x ∈ Ac ⇒ x ∈ A ∪ Ac
∴ U ⊆ A ∪ Ac ................... (ii)
Từ (i) và (ii), ta nhận được A ∪ Ac = U. Do đó đã được chứng minh.
(b) A ∩ Ac = ∅
Vì ∅ là tập con của mọi tập hợp
∴ ∅ ⊆ A ∩ Ac ..................... (i)
Chúng ta phải chứng minh rằng A ∩ Ac ⊆ ∅
Cho x ∈ A ∩ Ac ⇒ x ∈ A và x ∈ Ac
⇒ x ∈ A và x ∉ A
⇒ x ∈ ∅
∴ A ∩ Ac ⊂∅ ..................... (ii)
Từ (i) và (ii), ta được A∩ Ac = ∅. Do đó đã được chứng minh.
Uc = ∅
Cho x ∈ Uc ⇔ x ∉ U ⇔ x ∈ ∅
∴ Uc = ∅. Do đó đã được chứng minh. (Vì U là Tập hợp phổ quát).
∅c = U Cho x ∈ ∅c ⇔ x ∉ ∅ ⇔ x ∈ U (Vì ∅ là tập rỗng) ∴ ∅c = U. Do đó đã được chứng minh.
Ví dụ 8: Chứng minh luật bất biến
(Ac) c A.
Cho x ∈ (Ac) c ⇔ x ∉ Ac⇔ x ∈ a
∴ (Ac) c = A. Do đó đã được chứng minh.
Tính hai mặt:
Nhị thức E ∗ của E là phương trình thu được bằng cách thay thế mọi lần xuất hiện của ∪, ∩, U và ∅ trong E lần lượt bằng ∩, ∪, ∅, và U. Ví dụ, kép của
(U ∩ A) ∪ (B ∩ A) = A là (∅ ∪ A) ∩ (B ∪ A) = A
Người ta lưu ý rằng nguyên tắc đối ngẫu, rằng nếu bất kỳ phương trình nào E là một đồng nhất, thì đối ngẫu E ∗ của nó cũng là một đồng nhất.
Nguyên tắc mở rộng:
Theo nguyên tắc mở rộng hai tập hợp, A và B giống nhau nếu và chỉ khi chúng có các thành viên giống nhau. Chúng tôi ký hiệu các tập hợp bằng nhau Setsi A = B.
Nếu A = {1, 3, 5} và B = {3, 1, 5} thì A = B tức là A và B là các tập hợp bằng nhau.
Nếu A = {1, 4, 7} và B = {5, 4, 8}, thì A ≠ B tức là .., A và B là các tập không bằng nhau.
Tích Descartes của hai Sets:
Tích Descartes của hai tập P và Q theo thứ tự đó là tập hợp của tất cả các cặp có thứ tự mà thành viên thứ nhất thuộc tập P và thành viên thứ hai thuộc tập Q và được ký hiệu là P x Q, tức là,
P x Q = {(x, y): x ∈ P, y ∈ Q}.
Ví dụ: Cho P = {a, b, c} và Q = {k, l, m, n}. Xác định tích Descartes của P và Q.
Lời giải: Tích Descartes của P và Q là
