Rate this post

Các tập hợp trong phép toán hợp nhất, giao nhau và Sets sung thỏa mãn các luật khác nhau (danh tính) được liệt kê trong.

Các bài viết liên quan:

Ví dụ 1: Chứng minh các định luật Idempotent:

(a) A ∪ A = A

Vì, B ⊂ A ∪ B, do đó A ⊂ A ∪ A
Cho x ∈ A ∪ A ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ A ⇒ x ∈ A
∴ A ∪ A ⊂ A
Vì A ∪ A ⊂ A và A ⊂ A ∪ A ⇒ A = A ∪ A. Do đó đã được chứng minh.
(b) A ∩ A = A


Vì, A ∩ B ⊂ B, do đó A ∩ A ⊂ A
Cho x ∈ A ⇒ x ∈ A và x ∈ A
⇒ x ∈ A ∩ A ∴ A ⊂ A ∩ A
Vì A ∩ A ⊂ A và A ⊂ A ∩ A ⇒ A = A ∩ A. Do đó đã được chứng minh.

Ví dụ 2: Chứng minh các định luật liên kết:

(a) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Cho một số x ∈ (A'∪ B) ∪ C
   ⇒ (x ∈ A hoặc x ∈ B) hoặc x ∈ C
   ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B hoặc x ∈ C
  ⇒ x ∈ A hoặc (x ∈ B hoặc x ∈ C)
  ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B ∪ C
  ⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C).
Tương tự, nếu một số x ∈ A ∪ (B ∪ C), thì x ∈ (A ∪ B) ∪ C.
Do đó, bất kỳ x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Do đó đã chứng minh.
(b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Cho một số x ∈ A ∩ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A và x ∈ B ∩ C
   ⇒ x ∈ A và (x ∈ B và x ∈ C) ⇒ x ∈ A và x ∈ B và x ∈ C
  ⇒ (x ∈ A và x ∈ B) và x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∩ B và x ∈ C
  ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∩ C.
Tương tự, nếu một số x ∈ A ∩ (B ∩ C), thì x ∈ (A ∩ B) ∩ C
Như vậy, x ∈ (A ∩ B) ∩ C ⇔ x ∈ A ∩ (B ∩ C) bất kỳ. Do đó đã được chứng minh.

Ví dụ 3: Chứng minh các định luật giao hoán

(a) A ∪ B = B ∪ A

Để chứng minh
      A ∪ B = B ∪ A
      A ∪ B = {x: x ∈ A hoặc x ∈ B}
            = {x: x ∈ B hoặc x ∈ A} (∵ Thứ tự không được bảo toàn trong trường hợp tập hợp)
      A ∪ B = B ∪ A. Do đó đã chứng minh.
(b) A ∩ B = B ∩ A

Để chứng minh
      A ∩ B = B ∩ A
      A ∩ B = {x: x ∈ A và x ∈ B}
            = {x: x ∈ B và x ∈ A} (∵ Thứ tự không được bảo toàn trong trường hợp tập hợp)
      A ∩ B = B ∩ A. Do đó đã chứng minh.

Ví dụ 4: Chứng minh các định luật phân tán

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Để chứng minh
Cho x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B ∩ C
      ⇒ (x ∈ A hoặc x ∈ A) hoặc (x ∈ B và x ∈ C)
      ⇒ (x ∈ A hoặc x ∈ B) và (x ∈ A hoặc x ∈ C)
      ⇒ x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C
      ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Do đó, A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ............ (i)
Một lần nữa, Cho y ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇒ y ∈ A ∪ B và y ∈ A ∪ C
      ⇒ (y ∈ A hoặc y ∈ B) và (y ∈ A hoặc y ∈ C)
      ⇒ (y ∈ A và y ∈ A) hoặc (y ∈ B và y ∈ C)
      ⇒ y ∈ A hoặc y ∈ B ∩ C
      ⇒ y ∈ A ∪ (B ∩ C)
Do đó, (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C) ............ (ii)

Kết hợp (i) và (ii), ta được A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Do đó đã được chứng minh
(b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Để chứng minh
      Cho x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A và x ∈ B ∪ C
⇒ (x ∈ A và x ∈ A) và (x ∈ B hoặc x ∈ C)
         ⇒ (x ∈ A và x ∈ B) hoặc (x ∈ A và x ∈ C)
         ⇒ x ∈ A ∩ B hoặc x ∈ A ∩ C
         ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∪ C)

Do đó, A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∪ C) ............ (i)
Một lần nữa, Cho y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∪ C) ⇒ y ∈ A ∩ B hoặc y ∈ A ∩ C
⇒ (y ∈ A và y ∈ B) hoặc (y ∈ A và y ∈ C)
⇒ (y ∈ A hoặc y ∈ A) và (y ∈ B hoặc y ∈ C)
⇒ y ∈ A và y ∈ B ∪ C
           ⇒ y ∈ A ∩ (B ∪ C)
Do đó, (A ∩ B) ∪ (A ∪ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C) ............ (ii)

Kết hợp (i) và (ii), ta được A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∪ C). Do đó đã được chứng minh

Ví dụ 5: Chứng minh định luật De Morgan

(A ∪B) c = Ac∩ Bc

Để chứng minh (A ∪B) c = Ac∩ Bc
Cho x ∈ (A ∪B) c ⇒ x ∉ A ∪ B (∵ a ∈ A ⇔ a ∉ Ac)
           ⇒ x ∉ A và x ∉ B
           ⇒ x ∉ Ac và x ∉ Bc
           ⇒ x ∉ Ac∩ Bc
Do đó, (A ∪B) c ⊂ Ac∩ Bc ............. (i)
Một lần nữa, cho x ∈ Ac∩ Bc ⇒ x ∈ Ac và x ∈ Bc
            ⇒ x ∉ A và x ∉ B
            ⇒ x ∉ A ∪ B
            ⇒ x ∈ (A ∪B) c
Do đó, Ac∩ Bc ⊂ (A ∪B) c ............. (ii)
Kết hợp (i) và (ii), ta được Ac∩ Bc = (A ∪B) c. Do đó đã được chứng minh.
(A ∩B) c = Ac∪ Bc

Cho x ∈ (A ∩B) c ⇒ x ∉ A ∩ B (∵ a ∈ A ⇔ a ∉ Ac)
           ⇒ x ∉ A hoặc x ∉ B
           ⇒ x ∈ Ac và x ∈ Bc
           ⇒ x ∈ Ac∪ Bc
∴ (A ∩B) c⊂ (A ∪B) c .................. (i)
Một lần nữa, Cho x ∈ Ac∪ Bc ⇒ x ∈ Ac hoặc x ∈ Bc
            ⇒ x ∉ A hoặc x ∉ B
            ⇒ x ∉ A ∩ B
            ⇒ x ∈ (A ∩B) c
∴ Ac∪ Bc⊂ (A ∩B) c .................... (ii)
Kết hợp (i) và (ii), ta được (A ∩B) c = Ac∪ Bc. Do đó đã được chứng minh.

Ví dụ 6: Chứng minh các định luật đồng nhất.

A ∪ ∅ = A

Để chứng minh A ∪ ∅ = A
Cho x ∈ A ∪ ∅ ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ ∅
              ⇒ x ∈ A (∵x ∈ ∅, vì ∅ là tập rỗng)
        Do đó, x ∈ A ∪ ∅ ⇒ x ∈ A
  Do đó, A ∪ ∅ ⊂ A.
Ta biết rằng A ⊂ A ∪ B với tập B bất kỳ.
 Nhưng đối với B = ∅, chúng ta có A ⊂ A
∪ ∅
Từ trên ta có A ⊂ A ∪ ∅, A ∪ ∅ ⊂ A ⇒ A = A ∪ ∅. Do đó đã được chứng minh.
A ∩ ∅ = ∅

Để chứng minh A ∩ ∅ = ∅
Nếu x ∈ A thì x ∉ ∅ (∵∅ là tập rỗng)
Do đó, x ∈ A, x ∉ ∅ ⇒ A ∩ ∅ = ∅. Do đó đã được chứng minh.
A ∪ U = U

Để chứng minh A ∪ U = U
Mọi tập hợp là một tập hợp con của tập hợp phổ quát.
   ∴ A ∪ U ⊆ U
    Ngoài ra, U ⊆ A ∪ U
Do đó, A ∪ U = U. Do đó đã chứng minh.
A ∩ U = A

Để chứng minh A ∩ U = A
Chúng tôi biết A ∩ U ⊂ A ................. (i)
Vì vậy, chúng ta phải chứng minh rằng A ⊂ A ∩ U
Cho x ∈ A ⇒ x ∈ A và x ∈ U (∵ A ⊂ U nên x ∈ A ⇒ x ∈ U)
   ∴ x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩ Ư
   ∴ A ⊂ A ∩ Ư ................. (ii)
Từ (i) và (ii), ta được A ∩ U = A. Do đó đã chứng minh.

Ví dụ 7: Chứng minh các định luật Sets bổ sung

A ∪ Ac = U

Để chứng minh A ∪ Ac = U
  Mọi tập hợp là một tập hợp con của U
    ∴ A ∪ Ac ⊂ U .................. (i)
Chúng ta phải chứng minh rằng U ⊆ A ∪ Ac
  Cho x ∈ Ư ⇒ x ∈ A hoặc x ∉ A
      ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ Ac ⇒ x ∈ A ∪ Ac
    ∴ U ⊆ A ∪ Ac ................... (ii)
Từ (i) và (ii), ta nhận được A ∪ Ac = U. Do đó đã được chứng minh.
(b) A ∩ Ac = ∅

Vì ∅ là tập con của mọi tập hợp
     ∴ ∅ ⊆ A ∩ Ac ..................... (i)
Chúng ta phải chứng minh rằng A ∩ Ac ⊆ ∅
Cho x ∈ A ∩ Ac ⇒ x ∈ A và x ∈ Ac
     ⇒ x ∈ A và x ∉ A
      ⇒ x ∈ ∅
    ∴ A ∩ Ac ⊂∅ ..................... (ii)

Từ (i) và (ii), ta được A∩ Ac = ∅. Do đó đã được chứng minh.
Uc = ∅

Cho x ∈ Uc ⇔ x ∉ U ⇔ x ∈ ∅
    ∴ Uc = ∅. Do đó đã được chứng minh. (Vì U là Tập hợp phổ quát).
∅c = U


Cho x ∈ ∅c ⇔ x ∉ ∅ ⇔ x ∈ U (Vì ∅ là tập rỗng)
∴ ∅c = U. Do đó đã được chứng minh.

Ví dụ 8: Chứng minh luật bất biến

(Ac) c A.

Cho x ∈ (Ac) c ⇔ x ∉ Ac⇔ x ∈ a
     ∴ (Ac) c = A. Do đó đã được chứng minh.

Tính hai mặt:

Nhị thức E ∗ của E là phương trình thu được bằng cách thay thế mọi lần xuất hiện của ∪, ∩, U và ∅ trong E lần lượt bằng ∩, ∪, ∅, và U. Ví dụ, kép của

(U ∩ A) ∪ (B ∩ A) = A là (∅ ∪ A) ∩ (B ∪ A) = A

Người ta lưu ý rằng nguyên tắc đối ngẫu, rằng nếu bất kỳ phương trình nào E là một đồng nhất, thì đối ngẫu E ∗ của nó cũng là một đồng nhất.

Nguyên tắc mở rộng:

Theo nguyên tắc mở rộng hai tập hợp, A và B giống nhau nếu và chỉ khi chúng có các thành viên giống nhau. Chúng tôi ký hiệu các tập hợp bằng nhau Setsi A = B.

Nếu A = {1, 3, 5} và B = {3, 1, 5} thì A = B tức là A và B là các tập hợp bằng nhau.

Nếu A = {1, 4, 7} và B = {5, 4, 8}, thì A ≠ B tức là .., A và B là các tập không bằng nhau.

Tích Descartes của hai Sets:

Tích Descartes của hai tập P và Q theo thứ tự đó là tập hợp của tất cả các cặp có thứ tự mà thành viên thứ nhất thuộc tập P và thành viên thứ hai thuộc tập Q và được ký hiệu là P x Q, tức là,

P x Q = {(x, y): x ∈ P, y ∈ Q}.

Ví dụ: Cho P = {a, b, c} và Q = {k, l, m, n}. Xác định tích Descartes của P và Q.

Lời giải: Tích Descartes của P và Q là

Leave a Reply

Call now
%d bloggers like this: